曲线拟合问题分析.docx

2013高教社杯全国大学生数学建模竞赛
承诺书
我们仔细阅读了《全国大学生数学建模竞赛章程》和《全国大学生数学建模竞赛参赛规则》（以下简称为“竞赛章程和参赛规则”，可从全国大学生数学建模竞赛网站下载）。
我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。
我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛章程和参赛规则的，如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。
我们郑重承诺，严格遵守竞赛章程和参赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛章程和参赛规则的行为，我们将受到严肃处理。
我们授权全国大学生数学建模竞赛组委会，可将我们的论文以任何形式进行公开展示（包括进行网上公示，在书籍、期刊和其他媒体进行正式或非正式发表等）。
我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）：
我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）：
所属学校（请填写完整的全名）：中国人民解放军理工大学
参赛队员(打印并签名)：1.韦炜致
2.盛俊
3.秦鹏飞
指导教师或指导教师组负责人(打印并签名)：刘守生
（论文纸质版与电子版中的以上信息必须一致，只是电子版中无需签名。以上内容请仔细核对，提交后将不再允许做任何修改。如填写错误，论文可能被取消评奖资格。）
日期：2014年7月21日

赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：
2013高教社杯全国大学生数学建模竞赛
编号专用页
赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：
赛区评阅记录（可供赛区评阅时使用）：
评
阅
人
评
分
备
注
全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：
全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：通过曲线拟合的方法探究两个相关量之间的关系
一、摘要
本文采用最小二乘法、最小一乘法的分析方法，通过建立线性规划模型与非线性规划模型等多种形式，利用Matlab、Lingo编程实现曲线拟合，以探究两个相关量量与量之间的关系。
对于问题一，在拟合准则为偏差平方和最小的前提下，采用最小二乘法，通过Matlab编程得到0.012，0.803，即可得拟合直线。
对于问题二，在拟合准则为绝对偏差总和最小的前提下，采用最小一乘法，并将无约束不可微最优化问题转化为解决线性规划问题，通过Matlab编程得到0.750，0.575，即可得拟合直线。
对于问题三，在拟合准则为最大偏差极小化的前提下，采用线性规划模型，通过Matlab编程得到-4.758，1.130，即得拟合直线。
对于问题四，在拟合准则为偏差平方和最小的前提下，继续采用最小二乘法，得到1.425，-0.139，0.097，则为所拟合的曲线。在拟合准则为绝对偏差总和最小的前提下，构造非线性规划模型，得到1.000，-0.805，0.160，则为所拟合的曲线。在拟合准则为最大偏差极小化的前提下，也是构造非线性规划模型，得到0.469，0.766，0.025，则为所拟合的曲线。
对于问题五，重新观察散点图的图像特征，采用最小二乘法，拟合出相应的指数函数曲线图像和对数函数曲线图像，发现的指数函数曲线方程较对数函数曲线方程更准确地表现出量与量之间的关系。
关键词最小二乘法最小一乘法线性规划曲线拟合
二、问题重述
已知一个量依赖于另一个量，现收集有数据如下：
0.00.51.01.51.92.53.03.54.04.51.00.90.71.52.02.43.22.02.73.55.05.56.06.67.67.68.59.010.01.04.07.62.75.74.66.06.812.3（1）求拟合以上数据的直线。目标为使的各个观察值同按直线关系所预期的值的偏差平方和为最小。
（2）求拟合以上数据的直线，目标为使的各个观察值同按直线关系所预期的值的绝对偏差总和为最小。
（3）求拟合以上数据的直线，目标为使的各个观察值同按直线关系所预期的值的最大偏差为最小。
（4）求拟合以上数据的曲线，实现（1）（2）（3）三种目标。
（5）试一试其它的曲线，可否找出最好的？
三、问题分析
由题目可知，量依赖于量，也就是说量与量之间存在着必然的联系。这就要求我们通过曲线拟合的方式来探究量与量之间的关系。
对于问题一，拟合题中所给数据的直线，目标为使的各个观察值同按直线关系所预期的值的偏差平方和为最小。拟合准则偏差平方和最小，即为最为常用的最小二乘准则，故该问就转化为了在最小二乘准则下的曲线拟合问题，也就是一个多元函数的最小值问题，故而可采用最小二乘法，利用Matlab编程进行曲线拟合进行求解。
对于问题二，拟合题中所给数据的直线，目标为使的各个观察值同按直线关系所预期的值的绝对偏差总和为最小。对于