格林公式及其应用.docx

丽水学院

教案

课程名称：高等数学
课程代码：B2
授课专业班级：电信121、122本
授课教师：洪涛清
院别：理学院

2013年5月13日

一、授课题目§103格林公式及其应用
二、教学时间安排：共3课时
三、教学目的、要求
1．了解格林公式的证明过程，理解格林公式的实质及满足的条件。
2．熟练掌握格林公式及其简单的应用。
3．理解并掌握平面曲线积分与路径无关的四个等价条件。
4．会求全微分的原函数。
四、教学重点和难点
重点:格林公式的应用
难点:灵活应用格林公式进行简化计算。
五、教学方法及手段
启发式讲授法结合多媒体教学。
六、教学过程设计
准备知识
1．单连通与复连通区域
设D为平面区域如果D内任一闭曲线所围的部分都属于D则称D为平面单连通区域否则称为复连通区域
2．边界曲线的正向：
对平面区域D的边界曲线L我们规定L的正向如下当观察者沿L的这个方向行走时D内在他近处的那一部分总在他的左边
（一）格林公式
1．定理1设闭区域D由分段光滑的曲线围成函数P(xy)及Q(xy)在D上具有一阶连续偏导数则有

其中L是D的取正向的边界曲线
2．简要证明分析
先就D既是X－型的又是Y－型的区域情形进行证明
设D{(xy)|1(x)y2(x)axb}因为连续所以由二重积分的计算法有

另一方面由对坐标的曲线积分的性质及计算法有


因此
设D{(xy)|1(y)x2(y)cyd}类似地可证

由于D既是X－型的又是Y－型的所以以上两式同时成立两式合并即得

注意对复连通区域D格林公式右端应包括沿区域D的全部边界的曲线积分且边界的方向对区域D来说都是正向
3．格林公式的简单应用：
（1）化曲线积分为二重积分，如课件例1
例1/设L是任意一条分段光滑的闭曲线证明

证令P2xyQx2则
因此由格林公式有(为什么二重积分前有“”号？)
（2）化二重积分为曲线积分
例2计算其中D是以O(00)A(11)B(01)为顶点的三角形闭区域
分析要使只需P0
解令P0则因此由格林公式有

（3）计算平面区域面积
设区域D的边界曲线为L取PyQx则由格林公式得
或
例3椭圆xacosybsin所围成图形的面积A
分析只要就有
解设D是由椭圆x=acosy=bsin所围成的区域

令则
于是由格林公式

ab
4．注意格林公式成立的条件：
例4计算其中L为一条无重点、分段光滑且不经过原点的连续闭曲线L的方向为逆时针方向
解令则当x2y20时有
记L所围成的闭区域为D当(00)D时由格林公式得

当(00)D时在D内取一圆周lx2y2r2(r>0)由L及l围成了一个复连通区域D1应用格林公式得

其中l的方向取逆时针方向于是
2
注：计算结果与L围成的区域是否包括原点有关！因为P、Q的偏导数在原点不连续。
（二）平面上曲线积分与路径无关的条件
1．定义：设G是一个开区域P(xy)、Q(xy)在区域G内具有一阶连续偏导数如果对于G内任意指定的两个点A、B以及G内从点A到点B的任意两条曲线L1、L2等式

恒成立就说曲线积分在G内与路径无关否则说与路径有关
设曲线积分在G内与路径无关L1和L2是G内任意两条从点A到点B的曲线则有
于是有


所以有以下等价的结论
曲线积分在G内与路径无关相当于沿G内任意闭曲线C的曲线积分等于零
2．定理2设开区域G是一个单连通区域函数P(xy)及Q(xy)在G内具有一阶连续偏导数则曲线积分在G内与路径无关（或沿G内任意闭曲线的曲线积分为零）的充要条件是等式在G内恒成立（证明略）
注意定理要求区域G是单连通区域且函数P(xy)及Q(xy)在G内具有一阶连续偏导数如果这两个条件之一不能满足那么定理的结论不能保证成立
如前例4设L为一条无重点、分段光滑且不经过原点的连续闭曲线L的方向为逆时针方向问是否一定成立？
提示这里和在点(00)不连续
因为当x2y20时所以如果(00)不在L所围成的区域内则结论成立而当(00)在L所围成的区域内时结论不成立，因而计算结果与积分路径有关
破坏函数P、Q及、连续性的点称为奇点
3．定理2的应用：
若在某区域内，恒有成立，则
1)计算曲线积分时,可选择方便的积分路径;
2)求曲线积分时,可利用格林公式简化计算（若积分路径不是闭曲线,可添加辅助线转化为闭曲线）;
3)可用积分法求du=Pdx+Qdy在域D内