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排队论在超市收银台管理与优化设计中的应用

摘要：排队论又称随机服务系统，本文介绍了排队论中处理超市收银服务的基本理论，并在此基础上应用M/M/c/∝/∝排队模型对宣威的某一便民超市排队现象进行研究。通过收集、整理超市收银系统工作日和周末的接受收银服务的数据，根据排队论的相关理论建立模型，研究了该超市收银台的最优收费柜台数目。
关键词：排队论；M/M/c/∝/∝模型；超市；收银台；优化

1引言
1.1问题的研究背景及其意义
随着市场经济的发展，超市在中国城乡各地大量涌现，超市这一零售业已越来越受人们的欢迎。在激烈的市场竞争中，如何提高经济效益，吸收更多的顾客是超市经营商最关心的问题。而收银台的排队系统是超市和顾客接触的平台，排队系统的服务质量将影响到超市整个运营的水平和绩效，利用排队论优化超市收银台，为顾客提供最佳服务将是超市竞争的必然选择。
收银员的形象、服务态度、职业技能固然重要，而超市收银台的管理与优化也不容忽视。收银台前排队成龙的超市显然不是人们希望购物的环境，多数人宁愿放弃或稍远一点去购物，也不愿在拥挤中排队等待。特别是一些成功人士，宁愿多花一点钱也不愿排队，对他们来说时间就是金钱。
由于顾客的到达是随机的，若开放的服务窗口过少，排队现象就会严重，影响服务质量造成顾客流失；但如果超市开放的收银台过多，虽然可以减少顾客等待时间，却意味着超市增加投资，有时还可能发生资源空闲浪费的现象。因此，如何根据客流量动态的、合理的开放收银台数目，缩短顾客等待时间，同时降低超市经营成本，提高效益，显得尤为重要。
1.2研究现状
超市最初于20世纪30年代以不提供服务的廉价零售店在美国建立，之后成为美国主要食品市场通道，50年代传播到欧洲，超市的发展是发达国家降低成本，简化销售方式趋势的一部分。20世纪60年代超市在欧洲和拉丁美洲的发展中国家出现，主要受中、上层阶级欢迎，顾客以自助式的购买方式挑选商品。随着超市行业的迅速发展，对超市收银服务系统的研究已经受到人们的关注。因为就超市经营者而言，增加收银台就意味着增加投资，而收银台太少，排队现象就会严重影响服务质量，造成客源流失。那么到底设置多少收银台较为合适呢？现阶段解决这一问题的方法是将系统中的由于等待所产生的损失费用加上超市开放收费窗口的费用作为总费用，使得这个总费用最小的收费窗口数即为所。
排队论也称随机服务系统理论，是运筹学的一个重要分支，已经广泛地应用到实际生活中，尤其在通信系统、交通与运输系统、生产与服务系统、存贮与装卸系统、管理运筹系统、网络设计、计算机存储等领域都可用排队模型进行描述。把相应排队理论的研究成果应用到生产生活中，可以指导各种策略设计，给经济的发展带来巨大贡献，见文献[5,6]。而排队论理论也广泛地应用于超市收银系统见文献[7—9]，超市收银服务系统是一个动态的多服务台等待制随机服务系统，对服务系统的队长、等待时间等指标进行分析研究，合理利用排队论来分析超市最佳的收银台数将具有重要的经济价值和实际意义。
2等待制M/M/c/∝/∝模型
在M/M/c/∝/∝模型中假设顾客到达的时间间隔服从参数为的负指数分布，顾客的服务时间服从参数为的负指数分布，到达时间与服务时间是相互独立的，有c个服务台。
若顾客到达时服务窗全部处于忙的状态，则进行排队等待。等到服务完毕后才离开，另外规定各收银台工作是相互独立且平均服务率相同……，于是整个服务机构的平均服务率为（当）;为（当）。令，只有当<1时才不会排成无限的队列，称它为这个系统的服务强度或称服务机构的平均利用率。其中>0是常数，为顾客到达强度，即单位时间内的顾客平均到达量。
若表示时刻系统中的顾客数，设表示时间内有个顾客到达的概率。当<1时，系统可以达到稳态，且有平稳分布

其中，;

3超市收银台服务系统模型假设及建立
3.1分析超市收银台系统特征
超市顾客交费排队系统是一个动态的多服务台等待制排队系统，它有如下特征：
（1）顾客到达交费服务系统是相互独立的，顾客到达的时间间隔是随机的。（2）服务规则遵从先到先服务原则，且为等待制，即当所有服务台均有人时，则需排队等待。
（3）收银员看作系统的服务员系统由多服务员组成，且对每个顾客的服务时间是相互独立的。
3.2超市收银台服务系统模型的假设
由于可假设超市收银台服务系统中有c个服务台或服务员，顾客源是无限的，顾客按泊松流来到服务系统，到达强度为，服务员的服务能力为，各个服务台的服务时间都是具有相同服务率的负指数分布。当顾客到达时，如果每个收银台都有人则参加排队等待服务，直到服务完成为止。所以假设超市收银台服务系统是一个多服务台等待制M/M/c/∝/∝排队模型。
（1）顾客流量假设
假设顾客到达的规律可用概率来描述，即顾客到达的时间间隔符合泊松分布。
泊松分布的函数为（