探讨圆锥曲线的定值最值与定点问题.docx

探讨圆锥曲线的定值、最值与定点问题

圆锥曲线中的最值与定值问题，是解析几何中的综合问题，是一种典型题型，将函数与解析融为一体，要求有较强的综合能力，例析如下。
定值问题
解决定值问题的方法：将问题涉及的几何式转化为代数式或三角式，证明该式的值与参数无关。
例1A、B是抛物线（p＞0）上的两点，且OA⊥OB，求证：
（1）A、B两点的横坐标之积，纵坐标之积分别都是定值；
（2）直线AB经过一个定点。
证明：（1）设A（）、B（），则，。
∵=，∴为定值，也为定值。
（2）∵，∵，∴
∴直线AB的方程为：
，∴直线AB过定点（2p，0）。

例2已知抛物线方程为，点A、B及点P(2，4)都在抛物线上，直线PA与PB的倾斜角互补。
（1）试证明直线AB的斜率为定值；
（2）当直线AB的纵截距为m（m＞0）时，求△PAB的面积的最大值。
分析：这类问题一般运算量大，要注意函数与方程、数形结合、分类讨论等思想方法的灵活运用。
解析：（1）证明：把P(2，4)代入，得h=6。所以抛物线方程为：y－4=k(x－2)，由，消去y，得。
所以，因为PA和PB的倾角互补，所以，用－k代k，得，所以
=。
（2）设AB的方程为y=2x+m(m＞0)，由，消去y得：
，令△=16－4(2m－12)＞0，解得0＜m＜8，
，点P到AB的距离d=，所以，
=，所以，，
当且仅当，即时，等号成立，故△PAB面积最大值为。
最值问题
解决最值的方法：一是代数法，建立目标函数，转化为函数的最值问题，注意到自变量的范围；二是几何法，考虑某些量的几何特征及意义，利用图形性质求解。
例3求椭圆上的点P到直线L：x－2y－12=0的最大距离和最小距离。
方法1：（求切点）设与L平行的直线与椭圆相切于点P(x，y)，由椭圆方程得此切线方程，∵，∴，即（1），又（2），解(1)(2)得切点的坐标为P（－2，3）P（2，－3）。设点P到直线L的距离为d，由点到直线的距离公式，得，。
方法2：（判别式法）设与L平行的椭圆的切线方程为x－2y+m=0，代入椭圆方程，消去x得，由△=
得，。
当m=8时，切线方程x－2y+8=0，此时，切点为P（－2，3）；
当m=－8时，切线方程x－2y－8=0，此时，切点为P（2，－3）设点P到直线L的距离为d，由点到直线的距离公式，得，。
方法3：（参数法）设椭圆上任意一点P(4cosθ，sinθ)，它到直线L的距离为，∴当时，；当时，。
B
x
y
A
C
O
图1
·
点评：方法1、方法2可以求出椭圆上的最远点和最近点的坐标，方法3利用椭圆的参数方程，建立目标函数，简洁明了，但求切点的坐标较复杂。

例4已知定点A(0，3)点B、C分别在椭圆的准线上运动，当∠BAC=90°时，求△ABC面积的最大值。
解：椭圆的两条准线方程分别为：y=1或y=－1。
点B在直线y=1上且设B（a，1），点C在直线y=－1上且设C（b，－1），由于∠BAC=90°，A(0，3)，所以，
·=，ab=－8。==，当且仅当，即，时△ABC面积的值最大为8。

三、定点问题
处理这类问题有两种方法：一是从特殊入手，求出定点，再证明这个点与变量无关；二是直接推理、计算，并在计算过程中消去变量，从而得到定点。

C
x
y
O
F
B
A
图2
例5（2001年全国高考）设抛物线（p＞0）的焦点为F，经过点F的直线交抛物线于A、B两点，点C在抛物线的准线上，且BC∥x轴，证明：直线AC经过原点。
方法1：设直线方程为，A，B，C，∴，，∴，，，又∵，∴，即k也是直线OA的斜率，所以AC经过原点O。
当k不存在时，AB⊥x轴，同理可证。
x
y
F
B
A
C
D
O
图3
N
E
方法2：如图2过A作AD⊥l，D为垂足，则：AD∥EF∥BC连结AC与EF相交于点N，则，，由抛物线的定义知：|AF|=|AD|，|BF|=|BC|，∴.
点评：该题的解答既可采用常规的坐标法，借助代数推理进行，又可采用圆锥曲线的几何性质，借助平面几何的方法进行推理。解题思路宽，而且几何方法
较之解析法比较快捷便当，从审题与思维深度上看，几何法的采用，源于思维的深刻性。