数值计算方法数值积分25355.docx

第四章数值积分
一．问题提出：
（1）针对定积分SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0,a=0,b=1，即有SKIPIF1<0，但当SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，……，时，很难找到其原函数。
（2）被积函数并没有具体的解析形式，即SKIPIF1<0仅为一数表。
二．定积分的几何意义
定积分SKIPIF1<0的几何意义为，在平面坐标系中I的值即为四条曲线所围图形的面积，这四条曲线分别是SKIPIF1<0，y=0，x=a，x=b。
SKIPIF1<0
三．机械求积公式
1.中矩形公式
SKIPIF1<0；
几何意义：用以下矩形面积替代曲边梯形面积。
SKIPIF1<0
2.梯形公式
SKIPIF1<0
梯形公式的几何意义：用以下梯形面积替代曲边梯形的面积：
SKIPIF1<0
3.辛普生公式
SKIPIF1<0
辛普生公式的几何意义：阴影部分的面积为抛物线曲边梯形，该抛物线由SKIPIF1<0三点构成。
SKIPIF1<0
4.求积公式的一般形式
SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0称为节点，SKIPIF1<0称为求积系数，或权。
5.求积公式的代数精度（衡量求积公式准确度的一种方法）
含义：衡量一个积分公式的好坏，要用具体的函数来衡量，寻找怎样的函数来衡量呢？简单的多项式函数是一个理想的标准。
定义：若某积分公式对于SKIPIF1<0均能准确成立，但对于SKIPIF1<0不能准确成立。则称该公式具有m次代数精度。
解释：代数精度只是衡量积分公式好坏的1种标准。
例1．研究中矩形公式SKIPIF1<0的代数精度及几何意义。
解：当SKIPIF1<0时，公式左边SKIPIF1<0，公式右边SKIPIF1<0，左=右；
当SKIPIF1<0时，公式左边SKIPIF1<0，
公式右边SKIPIF1<0，左=右；
当SKIPIF1<0时，公式左边SKIPIF1<0，
公式右边SKIPIF1<0，左SKIPIF1<0右；
故中矩形公式具有1次代数精度。
从定积分的几何意义可以看出，当被积函数为一条直线时，中矩形公式是严格成立的，中矩形面积与梯形面积相等，如下图所示。
SKIPIF1<0
例2．研究梯形公式SKIPIF1<0的代数精度及几何意义。
解：当SKIPIF1<0时，公式左边SKIPIF1<0，公式右边SKIPIF1<0，左=右；
当SKIPIF1<0时，公式左边SKIPIF1<0，
公式右边SKIPIF1<0，左=右；
当SKIPIF1<0时，公式左边SKIPIF1<0，
公式右边SKIPIF1<0，左SKIPIF1<0右。
故梯形公式也具有1次代数精度。
从定积分的几何意义知，当被积函数为一条直线时，其积分值本身就是一个梯形的面积，如下图所示。

SKIPIF1<0
例3．研究辛普生公式SKIPIF1<0的代数精度及几何意义。
解：当SKIPIF1<0时，公式左边SKIPIF1<0，公式右边SKIPIF1<0，左=右；
当SKIPIF1<0时，公式左边SKIPIF1<0，
公式右边SKIPIF1<0，左=右；
当SKIPIF1<0时，公式左边SKIPIF1<0，
公式右边SKIPIF1<0，左=右；
当SKIPIF1<0时，公式左边SKIPIF1<0，
公式右边SKIPIF1<0，左=右；
当SKIPIF1<0时，左SKIPIF1<0右；
故梯形公式具有3次代数精度。
当被积函数为一条直线或一条抛物线时，过其曲线上3个点构造的抛物线就是其本身曲线，所以积分公式严格成立。当被积函数为3次多项式时，辛普生公式也严格成立，如下图所示，两个曲边梯形面积刚好相等。
SKIPIF1<0
6.求积公式的确定
方法一：待定系数法。
例1.构造一个至少具有一次代数精度的积分公式。
分析：构造一次代数精度的公式，即当SKIPIF1<0及SKIPIF1<0时，公式严格成立，故有2个约束条件，于是可以确定具有2个参数的积分公式。
解：设积分公式为：SKIPIF1<0。
针对SKIPIF1<0及SKIPIF1<0，代入积分公式的左边和右边，有：
SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0
于是有积分公式：SKIPIF1<0。
该公式即为梯形求积公式。
例2.构造一个至少具有2次代数精度的求积公式。
解：设积