拓扑关系和九交模型.docx

认识拓扑关系和九交模型
---2008301130103 杨文
一、拓扑关系
拓扑关系模型主要以结点、弧段、三角形和多边形作为描述空间物体的最简化元素，运用数学领域中的组合拓扑学来实现对空间简单与复杂物体几何位置和属性信息的完整描述。在该模型中，0维空间物体代表结点，1维空间物体代表弧段或边，2维空间物体代表三角形或其它多边形，3维空间物体则代表四面体或其它多面体，各类型的空间物体含有各自的坐标序列和属性值，并通过基本的邻接、关联、包含、几何和层次关系等建立之间的相互联系，而不同类型的物体相互组合又构成复杂的地理空间对象。除了结点没有方向性，弧段和多边形空间对象都具有方向性，如弧段L由A、B结点组成，其方向性可表示为由A-B或由B-A，多边形则可用顺、逆时针来表示其方向性。如下图：

图1拓扑关系数据模型描述
拓扑关系数据模型中建立拓扑数据结构的关键是对元素间拓扑关系的描述，最基本的拓扑关系包括以下几种：
(1)邻接：借助于不同类型拓扑元素描述相同拓扑元素之间的关系，如多边形和多边形的邻接关系。
(2)关联：不同拓扑元素之间的关系，如结点与链、链与多边形等。
(3)包含：面与其它拓扑元素之间的关系，如结点、线、面都位于某一个面内，则称该面包含这些拓扑元素。
(4)连通关系：拓扑元素之间的通达关系，如点连通度、面连通度的各种性质（如距离等）及相互关系。
(5)层次关系：相同拓扑元素之间的等级关系。如国家包含省、省包含市等。
拓扑数据结构中弧段和链具有方向性，通常以顺、逆时针作为方向基准，或将坐标以顺序方式存储。拓扑元素之间的各种拓扑关系构成了对地理空间实体的拓扑数据结构表达，如图2所示。

图2拓扑关系空间数据模型示例
不同拓扑元素的拓扑关系可在空间实体几何表示的同时来建立，也可单独建立不同的关系表。若在实体进行几何表达的同时建立拓扑关系，可在关系数据库中存储各类型几何元素数据的同时存储对应的拓扑关系，如图3所示。

图3几何数据和拓扑关系数据同表存储

二、四交模型、九交模型表达拓扑关系
4交模型以点集拓扑学为基础，通过边界和内部两个点集的交进行定义，并根据其内容进行关系划分，由于它只通过点集交的“空”与“非空”来进行关系判别，方法简练，所以在一些商用数据库系统、GIS软件设计中应用广泛。设有空间实体A、B，B(A)、B(B)表示A、B的边界，J(A)、J(B)表示A、B的内部，二者之间的关系可用式(1)来表示：
（1）
（2）
式(2)中的元素或者为“空”，或为“非空”，总共可产生16种情形。排除现实世界中不具有物理意义的关系，即可得出8种面一面关系，13种线一线关系、3种面一点关系、16种线一点关系、3种点一线关系。这里我们列出它所能描述的八种面一面关系，如图4。(黄海注:4交模型对线一线关系、线一面关系表达不唯一，故另一种说法是：8种面-面关系，23种线-线关系、19种线-面关系、8种点和其他空间关系，分别为分离、包含、包含于、等价、相接、覆盖、覆盖于、相交)

但是由于该方法具有普遍性，许多通过人眼都可明显区分开的一些情形，利用该方法却无能为力，如图5。二者的4交模型取值完全相同，都为（-Φ，-Φ，-Φ，-Φ），但是实际上二者的拓扑关系并不等价。

九交模型则将现实世界的每一对象都分成边界、内部和余三部分，这样任意两对象之间的空间关系则可表示成9种情况，每一种情况又有空与非空两种取值，9种情况可产生29=512种不同的空间关系情形，但其中有些关系并不存在。9-交模型形式化的描述了离散空间对象之间的拓扑关系，虽然理论上可表达512种关系，但大部分关系无实际意义或是不存在，可以说9-交模型所描述的拓扑关系只是拓扑关系的类别，每一类别又可能有多种情形。由于地理对象又可分为点、线、面三类，而且其中任意两者的交集又有T、F、*、0、1、2六种取值，因而9-交模型的空间关系又可拓展成69=10077696种非常复杂的空间情形，形成9-交扩展模型，并通过对大量的空间关系进行归纳和分类，得出5种基本的空间关系：相离关系(Disjoint)、相接关系(Touch)、相交关系(Cross)、包含于关系(In)、交叠关系(Overlap)。基于此，不少学者又研究更为复杂对象之间更加复杂、细致的空间关系，如Clementini首先对平面上复杂几何对象（不连通并含有洞的面、闭曲线和自相交的折线集和多点集）进行了定义，明确了其边界、内部等的含义，然后用CBM（CalculatedBasedMethod）对这些对象之间的拓扑关系进行了描述，并证明了这5种关系的互斥性[20]；还有学者提出基于Voronoi图的混合方法，它利用控件对象的Voronoi区域作为其外部对原9-交扩展模型进行了修改。
在基于拓扑关系思想的基础上，Egenhofer在点集关