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数学建模讲座
叶其孝
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数学模型(MathematicalModel)是用数学符号对一类实际问题或实际发生的现象的(近似的)描述.数学建模(MathematicalModeling)则是获得该模型并对之求解、验证并得到结论的全过程.数学建模不仅是了解基本规律,而且从应用的观点来看,更重要的是预测和控制所建模系统行为的强有力工具.
观察、分析实际问题↑→→→→→→→→↓
抽象、简化，确定变量和参数↑↓
利用某种“定律”建立变量和参数间的确定的关系(数学问题,这个
层次上的一个数学模型)↑↓
解析或“近似”地求解该数学问题（数学模型）↓
解释、验证、预测和
发现新的现象↑↓
←←←←←通不过↓
↓通过
可应用该数学模型,模拟(仿真)甚至预测定义：数学建模就是上述框图多次执行的过程
或者说,数学建模的步骤为:
1.观察、分析实际问题
2.抽象、简化，确定变量和参数
3.利用某种“定律”建立变量和参数间的确定的
关系(数学问题,这个层次上的一个数学模型)
4.解析或“近似”地求解该数学问题(数学模型)
5.解释、验证、预测和发现新的现象
6.若能,则可应用该数学模型,模拟(仿真)甚至预测
若不能,则回去检查各步骤是否有差错,重头再
来.
简言之:合理假设、数学问题、解释验证.
数学问题=建立数学模型+求解数学模型
记住这12个字,将会终生受用.
贷款问题—离散模型
Springer出版社2008年开始出版的
SpringerUndergraduateMathematicsandTechnology(SUMAT)(“斯普林格大学生数学与技术”丛书).其中第一本的书名就是译自法文版的ChristianeRousseau和YvanSaint-Aubin著的《MathematicsandTechnology(数学与技术)》，Springer|2008-08-19|ISBN:0387692150|582页.其中第5章为：
5.储蓄和贷款(SavingsandLoans)5.1银行词汇;5.2复利;5.3储蓄计划;5.4借钱;5.5附录:抵押支付表;5.6习题；参考文献

预备知识:等比数列求和公式
SKIPIF1<0
例1.某人想贷款买房,借200,000,期限20年.如果按当时的年利率6.39%,20年后一次还清的话,银行将按月利率0.5325%的复利计算,则要还
SKIPIF1<0
太多了,怕还不起,所以决定每个月还一点钱.
在“文曲星”电子词典(或类似的电子词典)中，打开其目录,在“计算”目录下有一项“贷款计算”，打开后有下列显示：

贷款金额200,000
贷款年数20
年利率(%)6.39%=0.0639
(月利率=6.39/12=0.5325%)

如果是上述输入，按“输入”键，会见到如下“计算结果”
每月应付款数(记为x)1478.22
总还款额354,773.41
总利息154,773.41

问题:用数学建模的方法来回答,这是怎么算出来的.
假设:月等额还款，20年还请.
提示:贷款模型是按月利率，按月计算的.
用符号表示,设一开始的贷款金额记为SKIPIF1<0,
贷款年数记为SKIPIF1<0,
年利率记为R=0.0639,
月利率记为r=R/12=0.005325.
变量为SKIPIF1<0.
数学模型的建立：确定变量以及变量之间的关系,即数学模型的建立：这个月(记为第n个月)尚欠银行的款数记为SKIPIF1<0,上个月(记为第n-1个月)结余欠款记为SKIPIF1<0加上利息记为SKIPIF1<0，减去这个月的还款SKIPIF1<0,还欠SKIPIF1<0.
所以,数学模型的语言表述为:这个月的欠款等于上个月欠款加上利息,再减去这个月的(等额)还款;一开始的借(欠)款已知;20年必须还清.用数学符号表示,数学模型为:
SKIPIF1<0
SKIPIF1<0表示20年=240个月还清贷款.
求解这个数学模型只需要用到等比级数部分和的求和公式.
数学模型的求解:
SKIPIF1<0
SKIPIF1<0
容易观察出规律,并用数学归纳法证明,对于任何n有
SKIPIF1<0
由等比级数部分和的求和公式(SKIPIF1<0)
SKIPIF1<0
于是有
SKIPIF1<0
由于SKIPIF1<0,即,SKIPIF1<0,
所以
SKIPIF1<0
解释验证:利用数学软件,例如,Matlab,Mathematica等可以用不同的数据代入此公式得到的结果和“文曲星”电子词典的结果比较,它们是完全一致的.从而可以断定“文曲星”用的就是