t分布与t检验.docx

t分布
从数理统计的理论上讲，并且上节的实例也已说明，在总体均数为μ，总体标准差为σ的正态总体中随机抽取n相等的许多样本，分别算出样本均数，这些样本均数呈正态分布。而当样本含量n不太小时，即使总体不呈正态分布，样本均数的分布也接近正态。在下式中，

由于μ与（样本均数的标准差）都是常量，又
X呈正态分布，所以u
也呈正态分布。但实际上总体标准差往往是不知道的，上式分母中的σ要由S替代，成为，那么由于样本标
准差有抽样波动，SX也有抽样波动，于是，在用S代替σ
后上式等号右边的变量便不呈正态分布而呈t分布，其定义公式是
（6.5)
t分布也是左右对称，但在总体均数附近的面积较正态分布的少些，两端尾部的面积则比正态分布的多些。t分布曲线随自由度而不同（如图6.1）。随着自由度的增大，t分布逐渐接近正态分布，当自由度为无限大时，t分布成为正态分布。

图6.1t分布（实线）与正态分布（虚线）
与正态分布相似，我们把t分布左右两端尾部面积之和α=0.05（即每侧尾部面积为0.025）相应的t值称为5%界，符号为t0.05,,，这里ν是自由度。把左右两端尾部面积之和α为0.01相应的t值称为1%界，符号为t0.01,,。t的5%界与1%界可查附表3，t值表。例如当自由度为10-1=9时，t0.05,9=2.262，t0.01,9=3.250。
可信区间的估计
一、参数估计的意义
一组调查或实验数据，如果是计量资料可求得平均数，标准差等统计指标，如果是计数资料则求百分率藉以概括说明这群观察数据的特征，故称特征值。由于样本特征值是通过统计求得的，所以又称为统计量以区别于总体特征值。总体特征值一般称为参数（总体量）。我们进行科研所要探索的是总体特征值即总体参数，而我们得到的却是样本统计量，用样本统计量估计或推论总体参数的过程叫参数估计。
本章第一节例6.1通过检查110个健康成人的尿紫质算得阳性率为10%，这是样本率，可用它来估计总体率，说明健康成人的尿紫质阳性率水平，这样的估计叫“点估计”。但由于存在抽样误差，不同样本（如再检查110人）可能得到不同的估计值。因此我们常用“区间估计”总体率（或总体均数）大概在那一个范围内，这个范围就叫可信区间。区间小的一端叫下限，大的一端叫上限。常用的有95%可信区间与99%可信区间。根据同一资料所作95%可信区间比99%可信区间窄些（上、下限较靠近），但估计错误的概率后者为1%，前者为5%，进行总体参数的区间估计时可根据研究目的与标准误的大小选用95%、或99%。
二、总体均数的估计
为了说明常用的总体均数之区间估计法，我们不妨回顾一下上节所叙的t分布。
由求t的基本公式

我们看到X与μ的距离等于t（SX），又根据X集中分布在μ周围的特点，若取t的5%
界即t0.05,,（或1%界）乘以SX作为X与μ的距离范围，就可用式（6.6）或式(6.7)求
出区间来估计总体均数μ所在范围，估错的概率仅有5%或1%，因此称95%或99%可信区间。下面用实例说明其求法。
95%可信区间X-t0.05,νSX<μ<X+T0.05,ΝSX(6.6)<p>
99%可信区间X-t0.05,νSX<μ<X+T0.01,ΝSX(6.7)<p>
例6.2上面抽样实验中第1号样本的均数为488.6，标准差为61.65，例数10，自由度ν=10-1=9，试求95%与99%可信区间。
1．求标准误
95%可信区间488.6-2.262(19.50)<μ<488.6+2.262(19.50),即有95%的把握估计μ是在444.49～532.71区间内
99%可信区间488.6-3.250(19.50)<μ<488.6+3.250(19.50),可有99%的把握估计μ是在425.22～551.98区间内
这里两个可信区间都包含μ=500在内，所以这次估计是估计对了。
抽样实验共抽了100个样本，除1号样本外其余99个样本均数也对μ作了区间估计，这些95%可信区间列在表6.4中。我们看到，只有5个95%可信区间（右上角标有星号）不包含总体均数μ=500在内，它们是：
样本号X95%可信区间6546.7515.78～577.627524.5500.45～548.5528476.1454.91～497.2972465.3447.02～483.5875526.6503.10～550.10
平时我们并不重复抽取许多样本来一次次估计总体均数而仅是一次，至于算出的均数会类似一百个样本均数中的那一个就很难说了。如果不遇到类似上列那些均数过大或过小的样本，求出可信区间后总体均数真是在该区间内，那么便是一次成功的估计：但是极少数情况下我们也会遇到极端的样本，以至总体均数并不在我们提出的区间内。不过，我们具体所作的这次估计到底属于前种情况还是后一种，这是无法知道