Matlab学习系列23. 模糊聚类分析原理及实现.docx

23.模糊聚类分析原理及实现

聚类分析，就是用数学方法研究和处理所给定对象，按照事物间的相似性进行区分和分类的过程。
传统的聚类分析是一种硬划分，它把每个待识别的对象严格地划分到某个类中，具有非此即彼的性质，这种分类的类别界限是分明的。
随着模糊理论的建立，人们开始用模糊的方法来处理聚类问题，称为模糊聚类分析。由于模糊聚类得到了样本数与各个类别的不确定性程度，表达了样本类属的中介性，即建立起了样本对于类别的不确定性的描述，能更客观地反映现实世界。
本篇先介绍传统的两种（适合数据量较小情形，及理解模糊聚类原理）：基于择近原则、模糊等价关系的模糊聚类方法。

（一）预备知识
一、模糊等价矩阵
定义1设R=(rij)n×n为模糊矩阵，I为n阶单位矩阵，若R满足
i)自反性：I≤R（等价于rii=1）；
ii)对称性：RT=R;
则称R为模糊相似矩阵，若再满足
iii)传递性：R2≤R（等价于）
则称R为模糊等价矩阵。
定理1设R为n阶模糊相似矩阵，则存在一个最小的自然数k（k<n）,使得Rk为模糊等价矩阵，且对一切大于k的自然数l，恒有Rl=Rk.Rk称为R的传递闭包矩阵，记为t(R).
二、模糊矩阵的λ-截矩阵
定义2设A=(aij)n×m为模糊矩阵，对任意的λ∈[0,1],作矩阵

其中，

称为模糊矩阵A的λ-截矩阵。显然，Aλ为布尔矩阵，且其等价性与与A一致。
意义：将模糊等价矩阵转化为等价的布尔矩阵，可以得到有限论域上的普通等价关系，而等价关系是可以分类的。因此，当λ在[0,1]上变动时，由Aλ得到不同的分类。
若λ1＜λ2,则Aλ1≥Aλ2,从而由Aλ2确定的分类是由Aλ1确定的分类的加细。当λ从1递减变化到0时，Aλ的分类由细变粗，逐渐归并，形成一个分级聚类树。
例1设U={u1,u2,u3,u4,u5},对给定的U上的模糊等价关系

让λ从1到0变化，观察分类过程。
(1)当λ=1时，

分类结果为5类：（每行代表一类，1代表对应元素在该类）
{u1},{u2},{u3},{u4},{u5}
(2)当λ=0.8时，

分类结果为4类：{u1,u3},{u2},{u4},{u5}
(3)当λ=0.6时，

分类结果为3类：{u1,u3},{u2},{u4,u5}
(4)当λ=0.5时，

分类结果为2类：{u1,u3,u4,u5},{u2}
(4)当λ=0.4（R中的最小值）时，

分类结果为1类：{u1,u2,u3,u4,u5}
整个动态分类过程如下：

（二）基于择近原则的模糊聚类
择近原则就是利用贴近度来实现分类操作，贴近度用来衡量两个模糊集A和B的接近程度，用N(A,B)表示。贴近度越大，表明二者越接近。
设论域有限或者在一定区间，即U={u1,u2,…,un}或U=[a,b],常用的贴近度有以下三种：
(1)海明贴近度

(2)欧氏贴近度

(3)格贴近度

其中，.
Matlab实现：格贴近度的实现函数fuz_closing.m
functiony=fuz_closing(A,B,type)
%要求A与B列数相同的行向量
[m,n]=size(A);
switchtype
case1%海明贴近度
y=1-sum(abs(A-B))/n;
case2%欧氏贴近度
y=1-(sum(A-B).^2)^(1/2)/sqrt(n);
case3%格贴近度
y1=max(min(ones(m,n)-A,ones(m,n)-B));
%ones(m,n)-A等于A^c
y2=max(min(A,B));
y=min(y1,y2);
end

例2设某产品的质量等级分为5级，其中一级有5种评判因素u1,u2,u3,u4,u5.每一等级的模糊集为
B1={0.50.50.60.40.3}
B2={0.30.30.40.20.2}
B3={0.20.20.30.10.1}
B4={0.10.10.20.10}
B5={0.10.10.10.10}
假设某产品各评判因素的值为A={0.40.30.20.10.2},问该产品属于哪个等级？
代码：
A=[0.40.30.20.10.2];
B=[0.50.50.60.40.3;
0.30.30.40.20.2;
0.20.20.30.10.1;
0.10.10.20.10;
0.10.10.10.10];
fori=1:5
haiming(i)=fuz_closing(A,B(i,:),1);
oushi(i)=fuz_closing(A,B(i,:),2);
ge(i)=fuz_closing(A,B(i,:),3);
end
haiming
oushi
ge
运行结果：
haiming=0.78000.92000.90000.86000.8400
oushi=0.508