f分布t分布与卡方分布.docx

§1.4常用的分布及其分位数
1.卡平方分布
卡平方分布、t分布及F分布都是由正态分布所导出的分布，它们与正态分布一起，是试验统计中常用的分布。
当X1、X2、…、Xn相互独立且都服从N(0,1)时，Z=的分布称为自由度等于n的分布，记作Z～(n)，它的分布密度p(z)=
式中的=，称为Gamma函数，且=1，=。分布是非对称分布，具有可加性，即当Y与Z相互独立，且Y～(n)，Z～(m)，则Y+Z～(n+m)。
证明:先令X1、X2、…、Xn、Xn+1、Xn+2、…、Xn+m相互独立且都服从N(0,1)，再根据分布的定义以及上述随机变量的相互独立性，令
Y=X+X+…+X，Z=X+X+…+X，
Y+Z=X+X+…+X+X+X+…+X，
即可得到Y+Z～(n+m)。
2.t分布若X与Y相互独立，且
X～N(0,1)，Y～(n)，则Z=的分布称为自由度等于n的t分布，记作Z～t(n)，它的分布密度
P(z)=。
请注意：t分布的分布密度也是偶函数，且当n>30时，t分布与标准正态分布N(0,1)的密度曲线几乎重叠为一。这时，t分布的分布函数值查N(0,1)的分布函数值表便可以得到。
3.F分布若X与Y相互独立，且X～(n)，Y～(m)，
则Z=的分布称为第一自由度等于n、第二自由度等于m的F分布，记作Z～F(n,m)，它的分布密度
p(z)=
请注意：F分布也是非对称分布，它的分布密度与自由度的次序有关，当Z～F(n,m)时，～F(m,n)。
4.t分布与F分布的关系
若X～t(n)，则Y=X～F(1,n)。
证：X～t(n)，X的分布密度p(x)=。
Y=X的分布函数F(y)=P{Y<y}=P{X<y}。
当y0时，F(y)=0，p(y)=0；
当y>0时，F(y)=P{-<X<}
==2，
Y=X的分布密度p(y)=，
与第一自由度等于1、第二自由度等于n的F分布的分布密度相同，因此Y=X～F(1,n)。
为应用方便起见，以上三个分布的分布函数值都可以从各自的函数值表中查出。但是，解应用问题时，通常是查分位数表。有关分位数的概念如下：

4.常用分布的分位数

1）分位数的定义
分位数或临界值与随机变量的分布函数有关，根据应用的需要，有三种不同的称呼，即α分位数、上侧α分位数与双侧α分位数，它们的定义如下：
当随机变量X的分布函数为F(x)，实数α满足0<α<1
时，α分位数是使P{X<xα}=F(xα)=α的数xα，
上侧α分位数是使P{X>λ}=1-F(λ)=α的数λ，
双侧α分位数是使P{X<λ1}=F(λ1)=0.5α的数λ1、使
P{X>λ2}=1-F(λ2)=0.5α的数λ2。
因为1-F(λ)=α，F(λ)=1-α，所以上侧α分位数λ就是1-α分位数x1-α；
F(λ1)=0.5α，1-F(λ2)=0.5α，所以双侧α分位数λ1就是0.5α分位数x0.5α，双侧α分位数λ2就是1-0.5α分位数x1-0.5α。

2）标准正态分布的α分位数记作uα，0.5α分位数记作u0.5α，1-0.5α分位数记作u1-0.5α。
当X～N(0,1)时，P{X<uα}=F0,1(uα)=α，
P{X<u0.5α}=F0,1(u0.5α)=0.5α，
P{X<u1-0.5α}=F0,1(u1-0.5α)=1-0.5α。
根据标准正态分布密度曲线的对称性，
当α=0.5时，uα=0；
当α<0.5时，uα<0。
uα=-u1-α。
如果在标准正态分布的分布函数值表中没有负的分位数，则先查出u1-α，然后得到uα=-u1-α。
论述如下：当X～N(0,1)时，P{X<uα}=F0,1(uα)=α，
P{X<u1-α}=F0,1(u1-α)=1-α，
P{X>u1-α}=1-F0,1(u1-α)=α，
故根据标准正态分布密度曲线的对称性，uα=-u1-α。
例如，u0.10=-u0.90=-1.282，
u0.05=-u0.95=-1.645，
u0.01=-u0.99=-2.326，
u0.025=-u0.975=-1.960，
u0.005=-u0.995=-2.576。
又因为P{|X|<u1-0.5α}=1-α，所以标准正态分布的双侧α分位数分别是u1-0.5α和-u1-0.5α。
标准正态分布常用的上侧α分位数有：
α=0.10，u0.90=1.282；
α=0.05，u0.95=1.645；
α=0.01，u0.99=2.326；
α=0.025，u0.975=1.960；
α=0.005，u0.995=2.576。

3）卡平方分布的α分位数记作α(n)。
α(n)>0，当X～(n)时，P{X<α(n)}=α。

例如，0.005(4)=0.21，0.025(4)=0.48，
0.05(4)=0.71，0.95(4)=9