广东省版高中数学6.7数学归纳法课时提能演练理新.doc

【全程复习方略】广东省版高中数学6.7数学归纳法课时提能演练理新人教A版
(45分钟100分)
一、选择题(每题6分，共36分)
1.利用数学归纳法证明“1＋a＋a2＋…＋an＋1＝eq\f(1－an＋2,1－a)(a≠1，n∈N*)〞时，在验证n＝1成立时，左边应该是()
(A)1(B)1＋a
(C)1＋a＋a2(D)1＋a＋a2＋a3
2.(·济南模拟)用数学归纳法证明1＋2＋3＋…＋n2＝eq\f(n4＋n2,2)，那么当n＝k＋1时，左端应在n＝k的根底上加上()
(A)k2＋1
(B)(k＋1)2
(C)eq\f((k＋1)4＋(k＋1)2,2)
(D)(k2＋1)＋(k2＋2)＋…＋(k＋1)2
3.以下代数式(k∈N*)能被9整除的是()
(A)6＋6×7k(B)2＋6×7k－1
(C)2(2＋2×7k＋1)(D)3(2＋7k)
*

5.(易错题)假设Sk＝1＋2＋3＋…＋(2k＋1)，那么Sk＋1＝()
(A)Sk＋(2k＋2)
(B)Sk＋(2k＋3)
(C)Sk＋(2k＋2)＋(2k＋3)
(D)Sk＋(2k＋2)＋(2k＋3)＋(2k＋4)
6.1＋2×3＋3×32＋4×33＋…＋n×3n－1＝3n(na－b)＋c对一切n∈N*都成立，那么a、b、c的值为()
(A)a＝eq\f(1,2)，b＝c＝eq\f(1,4)
(B)a＝b＝c＝eq\f(1,4)
(C)a＝0，b＝c＝eq\f(1,4)
(D)不存在这样的a、b、c
二、填空题(每题6分，共18分)
7.(·徐州模拟)用数学归纳法证明“当n为正奇数时，xn＋yn能被x＋y整除〞，当第二步假设n＝2k－1(k∈N*，进而需证n＝
8.f(n＋1)＝eq\f(2f(n),f(n)＋2)，f(1)＝1(n∈N*)，猜想f(n)的表达式为.
9.用数学归纳法证明：
eq\f(12,1×3)＋eq\f(22,3×5)＋…＋eq\f(n2,(2n－1)(2n＋1))＝eq\f(n(n＋1),2(2n＋1))；当推证当n＝k＋1等式也成立时，用上归纳假设后需要证明的等式是.
三、解答题(每题15分，共30分)
10.(·赣州模拟)数列{an}中，a1＝－eq\f(2,3)，当n>1，n∈N*时，Sn＋eq\f(1,Sn)＝an－2，
(1)求S1，S2，S3的值；
(2)猜想Sn的表达式，并证明你的猜想.
11.(·邢台模拟)假设不等式eq\f(1,n＋1)＋eq\f(1,n＋2)＋…＋eq\f(1,3n＋1)>eq\f(a,24)对一切正整数n都成立，猜想正整数a的最大值，并证明结论.
【探究创新】
(16分)设函数y＝f(x)，对任意实数x，y都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)＋2xy.
(1)求f(0)的值；
(2)假设f(1)＝1，求f(2)，f(3)，f(4)的值；
(3)在(2)的条件下，猜想f(n)(n∈N*)的表达式并用数学归纳法证明.

答案解析
1.【解析】选C.当n＝1时，左边＝1＋a＋a2，应选C.
2.【解析】选D.当n＝k时，左端＝1＋2＋3＋…＋k2，
当n＝k＋1时，左端＝1＋2＋3＋…＋k2＋(k2＋1)＋(k2＋2)＋…＋(k＋1)2，
故当n＝k＋1时，左端应在n＝k的根底上加上(k2＋1)＋(k2＋2)＋…＋(k＋1)2，应选D.
3.【解析】选D.通过验证k＝1可否认A、B、C.
4.【解析】“n＝k(k∈N*〞“n＝k＋1(k∈N*∈N*〞，应选A.
【变式备选】f(x)是定义域为正整数集的函数，对于定义域内任意的k，假设f(k)≥k2成立，那么f(k＋1)≥(k＋1)2
(A)假设f(3)≥9成立，那么对定义域内任意的k≥1，均有f(k)≥k2成立
(B)假设f(4)≥16成立，那么对定义域内任意的k≥4，均有f(k)<k2成立
(C)假设f(7)≥49成立，那么对定义域内任意的k<7，均有f(k)<k2成立
(D)假设f(4)≥16成立，那么对定义域内任意的k≥4，均有f(k)≥k2成立
【解析】题n＝k时成立，那么n＝k＋1时就成立，故假设n＝4时，f(4)≥16，那么k≥4时，f(k)≥k2成立.
5.【解析】k＋1＝1＋2＋3＋…＋[2(k＋1)＋1]＝1＋2＋3＋…＋(2k＋3)＝1＋2＋3＋…＋(2k＋1)＋(2k＋2)＋(2k＋3)＝Sk＋(2k＋2)＋(2k＋3).
6.【解题指南】由题意知，等式对一切n∈N*都成立，可取n＝1,2,3，代入后构成关于a、b、c的方程组，求解即得.
【解析】选A.令n＝1,2,3分别代入得
eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al