钟表上的追及问题.docx

钟表上的追及问题

例如：在3点和4点之间的哪个时刻，钟表的时针与分针：（1）重合；（2）成平角；（3）成直角。解析：分针旋转的速度快，时针旋转的速度慢，而旋转的方向却是一致的。因此上面这类问题也可看做追及问题。通常有以下两种解法：
一.格数法
钟表面的外周长被分为60个“分格”，时针1小时走5个分格，所以时针一分钟转分格，分针一分钟转1个分格。因此可以利用时针与分针旋转的“分格”数来解决这个问题。
解析（1）设3点x分时，时针与分针重合。
则分针走x个分格，时针走个分格。因为在3点这一时刻，时针在分针前15分格处，所以当分针与时针在3点与4点之间重合时，分针比时针多走15个分格，于是得方程，解得。所以3点16分时，时针与分针重合。
（2）设3点x分时，时针与分针成平角。
因为在3点这一时刻，时针在分针前15分格处，而在3点到4点之间，时针与分针成一平角时，分针在时针前30分格处，此时分针比时针多走了45分格，于是得方程，解得。所以3点分时，时针与分针成平角。
（3）设3点x分时，时针与分针成直角。
此时分针在时针前15分格处，所以在3点到4点之间，时针与分针成直角时，分针比时针多走了30分格，于是得方程，解得。所以3点分时，时针与分针成直角。

二.度数法
对钟表而言，时针12小时旋转一圈，分针1小时旋转一圈，转过的角度都是360°，所以时针1分钟转过的角度是0.5°，分针1分钟转过的角度是6°。故也可以利用时针与分针转过的度数来解决这道题。
解析（1）设3点x分时，时针与分针重合，则时针旋转的角度是0.5x°，分针旋转的角度是6x°。整3点时，时针与分针的夹角是90°，当两针重合时，分针比时针多转了90°，于是得方程，解得。
（2）设3点x分时，时针与分针成平角。此时分针比时针多转了90°+180°=270°，于是得方程，解得。
（3）设3点x分时，时针与分针成直角。此时分针比时针多转了，于是得方程，解得。

练一练
1.钟表上9点到10点之间，什么时刻时针与分针重合？
2.钟表上5点到6点之间，什么时刻时针与分针互相垂直？
3.钟表上3点到4点之间，什么时刻时针与分针成40°的角？
4.钟表上2点到3点之间，什么时刻时针与分针成一直线？

练一练答案
1.钟表上9点到10点之间，什么时刻时针与分针重合？
2.钟表上5点到6点之间，什么时刻时针与分针互相垂直？
3.钟表上3点到4点之间，什么时刻时针与分针成40°的角？
4.钟表上2点到3点之间，什么时刻时针与分针成一直线？
（参考答案：1.9点49分； 2.5点43或5点10分；
3.3点9分或3点23分； 4.2点43分。）