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竖直方向上的弹簧振子
周峰
1.竖直方向上的简谐运动模型
由简谐运动的定义可知，要证明物体做简谐运动可从两方面入手：回复力大小跟物体偏离平衡位置的位移成正比；回复力方向总指向平衡位置。下面就来证明竖直方向上的弹簧振子做简谐运动。
如图1，把一个质量为m的有孔小球系在劲度系数为k的轻弹簧的上端，弹簧的下端固定，小球穿在光滑的竖直杆上，可以在竖直杆上滑动。

小球静止在O点时，回复力为零。O点是振动的平衡位置，此时弹簧处于压缩状态，设压缩量为，则有。
把小球拉到平衡位置上方M点，偏离平衡位置O点的位移为A，然后释放，则在振动过程的任意位置（以图中的P点和Q点为例，设偏离平衡位置的位移分别为和）进行受力分析，根据牛顿第二定律分别有
在P点：若弹簧被拉伸，回复力的大小

若弹簧仍处于压缩状态，回复力的大小

在Q点，弹簧处于压缩状态，回复力大小

在此过程中，回复力F的方向始终指向平衡位置。因此，竖直方向的弹簧振子做的是简谐运动。

图2与图1中的情况基本相同，同学们可自行分析。
2.与水平方向弹簧振子的比较
分析竖直方向的弹簧振子，要透彻理解平衡位置、振幅、回复力等重要概念，还要准确运用简谐运动中一些物理量的对称性特点，合理地进行类比、推理。另外，分析弹簧模型的受力、能量及临界条件也是必不可少的。

例1.一轻弹簧直立在地面上，其劲度系数为，弹簧的上端与盒子A连接在一起，盒子内装物体B，B的上下表面恰好与盒子接触，A和B的质量，g=10m/s2，不计空气阻力，先将A向上抬高使弹簧伸长5cm后从静止释放，A和B一起上下运动，已知弹簧的弹性势能取决于弹簧的形变大小。试求：
（1）A的振幅；
（2）B的最大速率；
（3）在最高点和最低点A与B之间的作用力。
分析：（1）设A和B做简谐运动的平衡位置为弹簧的压缩量为时的位置，则

得
故A的振幅为10cm
（2）当B运动到平衡位置时速率最大。在A和B运动的初始位置和平衡位置，弹簧的伸长量与压缩量相等，故弹性势能不变。
由动能定理得
所以
（3）设A、B一起运动的最大加速度大小为a（最高点和最低点），由于牛顿第二定律得
得
取B为研究对象，在最高点时有
故A对B的作用力，方向向下；
在最低点时有
故A对B的作用力，方向向上。
例2.如图3所示，质量分别为和的A、B两物块，用劲度系数为k的轻弹簧相连后竖直放在水平面上，今用大小为F=45N的力把物块A向下压，使之处于静止，突然撤去压力，则（）
A.物块B有可能离开水平面
B.物块B不可能离开水平面
C.只要k足够小，物块B就可能离开水平面
D.只要k足够大，物块B就可能离开水平面

分析：撤去压力后，物体A在竖直方向上做简谐运动，初始位置的回复力最大，为F=45N。由回复力的对称性特点，当A运动到最高点时，回复力也为45N，方向向下。设此时弹簧弹力为，有。
因为，故物体B不可能离开水平面。选B。
例3.如图4所示，弹簧上端固定在O点，下端挂一木匣A，木匣A顶部悬挂一木块B，A和B的质量都是1kg，B距木匣底面，当它们都静止时，弹簧长度为L。某时刻，悬挂木块B的细线突然断开，在木匣上升到速度刚好为零时，B和A的底面相碰，碰撞后结为一体，当运动到弹簧长度又为L时，速度变为v=1m/s。木块B可看成质点，求：
（1）碰撞中的动能损失；
（2）弹簧的劲度系数k；
（3）开始静止时弹簧的弹性势能。

分析：（1）悬挂木块B的细线断开时和弹簧长度又为L时弹簧的弹性势能相等，故系统机械能损失为
碰撞中动能的损失等于系统机械能的损失，即
（2）细线断开后，木匣A在竖直方向上做简谐运动，到达最高点时弹簧恰好恢复原长，设开始弹簧的伸长量为，碰撞前B的速度为，碰撞后共同速度为，则有

（3）细线断开后，A做简谐运动到最高点时和B碰撞，碰撞时弹簧为原长，由机械能守恒得。
练习：如图5所示，质量为m的物体放在下端固定的弹簧上端，在竖直方向上做简谐运动。当其振幅为A时，物体对弹簧的压力的最大值是物体重力的1.5倍。求：
（1）物体对弹簧的最小压力是多少？
（2）欲使物体在随弹簧运动的过程中不离开弹簧，其振幅不能超过多少？

（答案：0.5mg，2A）