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系统的稳定性以及稳定性的几种定义
系统
研究系统的稳定性之前，我们首先要对系统的概念有初步的认识。在数字信号处理的理论中，人们把能加工、变换数字信号的实体称作系统。由于处理数字信号的系统是在指定的时刻或时序对信号进行加工运算，所以这种系统被看作是离散时间的，也可以用基于时间的语言、表格、公式、波形等四种方法来描述。从抽象的意义来说，系统和信号都可以看作是序列。但是，系统是加工信号的机构，这点与信号是不同的。人们研究系统还要设计系统，利用系统加工信号、服务人类，系统还需要其它方法进一步描述。描述系统的方法还有符号、单位脉冲响应、差分方程和图形。
中国学者钱学森认为：系统是由相互作用相互依赖的若干组成部分结合而成的，具有特定功能的有机整体，而且这个有机整体又是它从属的更大系统的组成部分。
系统的稳定性
一个系统，若对任意的有界输入，其零状态响应也是有界的，则称该系统是有界输入有界输出(BoundInputBoundOutput------BIBO)稳定的系统，简称为稳定系统。即，若系统对所有的激励|f(·)|≤Mf，其零状态响应|yzs(·)|≤My(M为有限常数），则称该系统稳定。
连续（时间）系统与离散(时间)系统
连续系统：时间和各个组成部分的变量都具有连续变化形式的系统。系统的激励和响应均为连续信号。
离散系统：当系统各个物理量随时间变化的规律不能用连续函数描述时，而只在离散的瞬间给出数值，这种系统称为离散系统。系统的激励和响应均为离散信号。
因果系统
因果系统(causalsystem)是指当且仅当输入信号激励系统时，才会出现输出（响应）的系统。也就是说，因果系统的（响应）不会出现在输入信号激励系统的以前时刻。即输入的响应不可能在此输入到达的时刻之前出现的系统；也就是说系统的输出仅与当前与过去的输入有关，而与将来的输入无关的系统。
判定方法
对于连续时间系统：
t=t1的输出y(t1)只取决于t≤t1的输入x(t≤t1)时，则此系统为因果系统。
特殊的：当该系统为线性移不变系统时，系统的冲激响应函数h(t)，在t≤t1的条件下，h(t)=0，则此系统为因果系统；
对于离散时间系统：
n=n1的输出y(n1)只取决于n≤n1的输入x(n≤n1)时，则此系统为因果系统，特殊的：当该系统为线性移不变系统时，系统的冲激响应函数h(n)，在n≤n1的条件下，h(n)=0，则此系统为因果系统。
举例说明
函数：1.y(t)=x(sin(t))不是因果系统，因为y(-π)=x(0),表明y(t)在一段时间内可能取决于未来的x(t)。
2.y（t）=x（t）cos（t+1)是因果系统，cos（t+1)是时变函数，相当于一个已知的函数波形，所以x（t）的当前值影响了y（t）的当前值。
连续系统稳定性与离散系统稳定性的充分必要条件（证明见教材）
连续系统稳定的充分必要条件
时域：
S域：若H(s)的收敛域包含虚轴，则该系统必是稳定系统。
对于因果系统：若H(s)的极点均在左半开平面，则该系统必是稳定系统。

离散系统稳定的充分必要条件
时域：
Z域：若H(z)的收敛域包含单位圆，则该系统必是稳定系统。
对于因果系统：若H(z)的极点均在单位圆内，则该系统必是稳定系统。
举例
例1y(k)+1.5y(k-1)-y(k-2)=f(k-1)
(1)若为因果系统，求h(k)，并判断是否稳定。
(2)若为稳定系统，求h(k).
解：

(1)为因果系统，故收敛域为|z|>2，所以h(k)=0.4[0.5k-(-2)k]ε(k)，不稳定。
(2)若为稳定系统，故收敛域为0.5<|z|<2，所以h(k)=0.4(0.5)kε(k)+0.4(-2)kε(-k-1)

例2：如图离散因果系统框图，为使系统稳定，求常量a的取值范围
解：设加法器输出信号X(z)
X(z)=F(z)+z-1aX(z)
Y(z)=(2+z-1)X(z)=(2+z-1)/(1-az-1)F(z)
H(z)=(2+z-1)/(1-az-1)=(2z+1)/(z-a)
为使系统稳定，H(z)的极点必须在单位园内，
故|a|<1
系统稳定性判别方法
1、系统稳定性判据
在控制和通信系统的分析和设计过程中,研究系统的稳定性是其核心问题。不稳定的系统是不能有效工作的,而只有在系统稳定的前提下,讨论系统的准确性与快速性才有意义。对于一个线性时不变系统,若系统对任意有界输入其零状态响应也是有界的,则称此系统为稳定的,亦称为BIBO稳定系统。由此导出连续时间系统稳定的充分必要条件是单位冲激响应h(t)绝对可积或其系统函数H(s)的极点全部分布在s平面左半平面;离散时间系统稳定的充分必要条件是单位脉冲响应h(n)绝对可和或者其系统函数H(z)的所有极点都在z平面单位圆内。
通过对系统稳定的充要条件