数值分析上机作业.docx

数值分析上机实验报告

选题：曲线拟合的最小二乘法
指导老师：
专业：
学号：
姓名：课题八曲线拟合的最小二乘法
一、问题提出
从随机的数据中找出其规律性，给出其近似表达式的问题，在生产实践和科学实验中大量存在，通常利用数据的最小二乘法求得拟合曲线。
在某冶炼过程中，根据统计数据的含碳量与时间关系，试求含碳量y与时间t的拟合曲线。
t(分)0510152025303540455055y(×10-4)01.272.162.863.443.874.154.374.514.584.024.64二、要求
1、用最小二乘法进行曲线拟合；
2、近似解析表达式为；
3、打印出拟合函数，并打印出与的误差，；
4、另外选取一个近似表达式，尝试拟合效果的比较；
5、*绘制出曲线拟合图*。
三、目的和意义
1、掌握曲线拟合的最小二乘法；
2、最小二乘法亦可用于解超定线代数方程组；
3、探索拟合函数的选择与拟合精度间的关系。
四、计算公式
对于给定的测量数据(xi,fi)(i=1,2,…，n)，设函数分布为

特别的，取为多项式
(j=0,1,…，m)
则根据最小二乘法原理，可以构造泛函

令
(k=0,1,…，m)
则可以得到法方程

求该解方程组，则可以得到解，因此可得到数据的最小二乘解

曲线拟合：实际工作中，变量间未必都有线性关系，如服药后血药浓度与时间的关系；疾病疗效与疗程长短的关系；毒物剂量与致死率的关系等常呈曲线关系。曲线拟合是指选择适当的曲线类型来拟合观测数据，并用拟合的曲线方程分析两变量间的关系。
五、结构程序设计
在程序结构方面主要是按照顺序结构进行设计，在进行曲线的拟合时，为了进行比较，在程序设计中，直接调用了最小二乘法的拟合函数polyfit，并且依次调用了plot、figure、holdon函数进行图象的绘制，最后调用了一个绝对值函数abs用于计算拟合函数与原有数据的误差，进行拟合效果的比较。

5.1用一元三次多项式进行拟合
计算解析表达式系数：a1,a2,a3
t=[0510152025303540455055];

y=[01.272.162.863.443.874.154.374.514.584.024.64];
>>n=length(xi);

f=0.34364.*10.^(-4)*x.^3-5.2156.*10.^(-3)*x.^2+0.26340.*x+0.017839;

x=0:0.01:55;

F=0.34364.*10.^(-4)*x.^3-5.2156.*10.^(-3)*x.^2+0.26340.*x+0.017839;

fy=abs(f-y);

fy2=fy.^2;Ew=max(fy),E1=sum(fy)/n,E2=sqrt((sum(fy2))/n)

plot(xi,y,'t*'),holdon,plot(t,F,'b-'),holdoff

所得函数为
运行后屏幕显示数据与拟合函数f的最大误差Ew，平均误差E1和均方根误差E2及其数据点和拟合曲线y=f(x)的图形如图5.1.
Ew=0.4243

E1=0.0911

E2=0.1467

图5.1一元三次多项式拟合曲线误差图

5.2用一元四次多项式进行拟合：
计算多项式系数：a1,a2,a3,a4
xi=[0510152025303540455055];

y=[01.272.162.863.443.874.154.374.514.584.024.64];

n=length(xi);

x=0:0.01:55;

f=0.6026.*10.^(-6)*x.^4-0.31918.*10.^(-4)*x.^3-0.0029323.*x.^2+0.23807.*x+0.060449;

x=0:0.01:55;

F=0.6026.*10.^(-6)*x.^4-0.31918.*10.^(-4)*x.^3-0.0029323.*x.^2+0.23807.*x+0.060449;

fy=abs(f-y);fy2=fy.^2;Ew=max(fy),E1=sum(fy)/n,E2=sqrt((sum(fy2))/n)
plot(xi,y,'r*'),holdon,plot(x,F,'b-'),holdoff

所得函数为
运行后屏幕显示数据与拟合函数f的最大误差Ew，平均误差E1和均方根误差E2及其数据点和拟合曲线y=f(x)的图形如图5.2。
Ew=0.3897
E1=0.1034、
E2=0.1429

图5.2一元四次多项式拟合曲线误差图
5.3用一元二次多项式进行拟合：
计算多项式系数：a1,a2,a3
输入程序：
>>symsa1a2a3
x=[05101520253