带电粒子在磁场中偏转的磁场边界极值问题.docx

带电粒子在磁场中偏转的磁场边界极值问题
例1（1994年全国高考题）如图1所示，一带电质点，质量为，电量为，以平行于轴的速度v从轴上的点射入图中第一象限所示的区域,为了使该质点能从x轴上的b点以垂直于Ox轴的速度v射出，可在适当的地方加一个垂直于xy平面、磁感应强度为B的匀强磁场,若此磁场仅分布在一个圆形区域内，试求这圆形磁场区域的最小半径。（重力忽略不计）

解析：质点在磁场中作半径为R的圆周运动，洛伦兹里提供向心力，则，可得质点在磁场中作圆周运动的半径为定值。由题设的质点在有界磁场区域中入射点和出射点方向垂直的条件，可判定带电粒子在磁场中的运动轨迹是半径为R的圆周的1/4圆弧，这段圆弧与粒子射入和射出磁场时的速度方向相切。过点a作平行于x轴的直线，过b点作平行于y轴的直线，则与这两直线aM、bN相距均为R的点即为带点粒子在磁场中运动轨迹的圆心，图2中虚线圆弧即为带点粒子在有界圆形磁场中运动的轨迹。由几何关系知：过M、N两点的不同圆周中面积最小的是以MN连线为直径的圆周，所以本题所求的圆形磁场区域的最小半径为

例2（创新迁移）如图3所示，一质量为m、带电量为q的粒子以速度从A点沿等边三角形ABC的AB方向射入磁感应强度为B。方向垂直于纸面的圆形匀强磁场区域中，要使该粒子飞出磁场后沿BC方向，求圆形磁场区域的最小面积。（粒子重力忽略不计）

解析：设粒子在磁场中作半径为R的圆周运动，由洛伦兹里提供向心力，可得为一定值。如图4虚线圆所示，作出粒子沿AB进入、BC射出磁场的运动轨迹。过P、Q两定点的不同圆周中，面积最小的是以线段PQ为直径的圆（如图4中实线圆所示），即所求的最小圆形磁场区域。由几何关系知，实线圆的半径，则待求最小圆形磁场区域的面积=。

例3（2009年海南卷第16题）如图5所示，ABCD是边长为的正方形。质量为、电荷量为e的电子以大小为的初速度沿纸面垂直于BC边射入正方形区域。在正方形内适当区域中有匀强磁场。电子从BC边上的任意点入射，都只能从A点射出磁场。不计重力，求：

（1）此匀强磁场区域中磁感应强度的方向和大小；

（2）此匀强磁场区域的最小面积。

解析：（1）设匀强磁场的磁感应强度的大小为，如图6所示，电子由C点垂直于BC射入匀强磁场且从A点射出磁场，可设圆弧是电子的运动轨迹，由几何关系知B点为轨迹圆心，半径R=。电子所受的洛伦兹力提供向心力即，可得，由洛伦兹力指向圆弧的圆心，可判定磁场方向垂直于纸面向外。

（2）如图6所示，因为从BC边上任意点垂直于BC方向射入正方形区域的电子都只能由A点射出，可知电子射入磁场的点必为每条可能轨迹的最高点。所以由C点垂直于BC射入的电子在磁场中运动轨迹为有界磁场的上边界,B点为圆弧的圆心。下面确定下边界，先设磁场区域足够大，点M为BC上任意点，由于电子在磁场中的轨道半径R=为定值，所以从点M垂直于BC射入正方形区域的电子的运动轨迹圆心为：以A为圆心，为半径的圆弧和与MN（MNBC）平行且在MN下方相距为的直线的交点。故所有垂直于BC射入正方形区域的电子的运动轨迹圆心构成：以A为圆心，为半径的圆弧。由于从BC上的任意点M点垂直BC射入有界磁场边界的点P可看作是点沿垂直于AB向上平移了得到的，所以圆弧沿垂直于AB的方向向上平移所得的圆弧即为有界磁场的下边界。故有界磁场分布的最小区域为圆弧与所围的部分，其面积为扇形减去三角形的面积的二倍：＝。

注：磁场区域的下边界也可用解析法求解。如图6所示，设从BC上任意点M点垂直于BC射入的电子由A点射出时的速度方向与BA的延长线夹角为（不妨设）。先设电子的运动轨迹为，在以D为原点、DC为x轴，AD为y轴的坐标系中，P点的坐标为，连接DP，由于OP=OA=AD，且，所以四边形AOPD为菱形，由几何关系知==,DP=a，故，，整理得点P的轨迹方程为，这表明，在范围内，P点的轨迹为以D为圆心、为半径的四分之一圆周，即为磁场区域的另一边界。

例4（创新迁移—逆向思维）如图5所示，在正方形ABCD的适当区域中有匀强磁场。现有一放射源放置于正方形ABCD顶点A处，可由A点向正方形区域内的各个方向放射质量为m、速度为、带电量为e的电子。若沿AD方向发射的电子经磁场偏转后恰好可由D点射出。要使放射源由A放射的所有电子穿出匀强磁场时，都只能垂直于BC向右射出，试求匀强磁场区域分布的最小面积S。（粒子重力忽略不计）

解析：本题解题过程与例3可逆，详细过程与例5（2）类似。注：磁场的方向垂直于纸面向里。

例5（创新迁移2—同类变换）如图7所示，直角三角形中,边长。假设在顶点A处有一放射源可沿所夹范围的各个方向放射出质量为m、速度为、带电量为e的电子。在三角形的适当区域内有匀强磁场。当电子从顶点A沿方向射入磁场时，电子恰好从点射出。要使放射