高考数学一轮复习 第二章 函数、导数及其应用 课时达标15 导数与函数的极值 理-人教版高三全册数学试题.doc

课时达标第15讲
[解密考纲]本考点主要考查利用导数研究函数的单调性、极值、最值、或者已知最值求参数等问题．高考中导数试题经常和不等式、函数、三角函数、数列等知识相结合，作为中档题或压轴题出现．三种题型均有出现，以解答题为主，难度较大．
一、选择题
1．若函数f(x)＝x3－2cx2＋x有极值点，则实数c的取值范围为(D)
A．eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)，＋∞)) B．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)，＋∞))
C．eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(\r(3),2)))∪eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)，＋∞)) D．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(\r(3),2)))∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)，＋∞))
解析若函数f(x)＝x3－2cx2＋x有极值点，则f′(x)＝3x2－4cx＋1＝0有根，故Δ＝(－4c)2－12>0，从而c>eq\f(\r(3),2)或c<－eq\f(\r(3),2).
2．函数f(x)＝eq\f(1,2)x2－lnx的最小值为(A)
A．eq\f(1,2) B．1
C．0 D．不存在
解析f′(x)＝x－eq\f(1,x)＝eq\f(x2－1,x)，且x>0，
令f′(x)>0，得x>1；令f′(x)<0，得0<x<1，
∴f(x)在x＝1处取得极小值也是最小值，
且f(1)＝eq\f(1,2)－ln1＝eq\f(1,2)，故选A．
3．已知x＝2是函数f(x)＝x3－3ax＋2的极小值点，那么函数f(x)的极大值为(D)
A．15 B．16
C．17 D．18
解析x＝2是函数f(x)＝x3－3ax＋2的极小值点，即x＝2是f′(x)＝3x2－3a＝0的根，将x＝2代入得a＝4，所以函数解析式为f(x)＝x3－12x＋2.令f′(x)＝3x2－12＝0，得x＝±2，故函数在(－2,2)上是减函数，在(－∞，－2)，(2，＋∞)上是增函数，由此可知当x＝－2时函数f(x)取得极大值f(－2)＝18，故选D．
4．函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x3＋3x2＋1，x≤0，,eax，x>0，))在[－2,2]上的最大值为2，则实数a的取值范围是(D)
A．eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)ln2，＋∞)) B．eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)ln2))
C．(－∞，0) D．eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，\f(1,2)ln2))
解析当x∈[－2,0)时，因为f′(x)＝6x2＋6x＝6x(x＋1)，所以在[－2，－1)上f′(x)>0，在(－1,0]上，f′(x)≤0，
则当x∈[－2,0]时函数有最大值，为f(－1)＝2.
当a≤0时，若x>0，显然eax≤1，此时函数在[－2,2]上的最大值为2，符合题意；当a>0时，若函数在[－2,2]上的最大值为2，则e2a≤2，得a≤eq\f(1,2)ln2，综上可知a的取值范围是eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，\f(1,2)ln2))，故选D．
5．已知函数f(x)＝2x3－6x2＋m(m为常数)在[－2,2]上有最大值3，那么此函数在[－2,2]上的最小值为(A)
A．－37 B．－29
C．－5 D．－11
解析f′(x)＝6x2－12x＝6x(x－2)，由f′(x)＝0得x＝0或x＝2.
∵f(0)＝m，f(2)＝－8＋m，f(－2)＝－40＋m，显然f(0)>f(2)>f(－2)，∴m＝3，最小值为f(－2)＝－37，故选A．
6．(2018·河北三市联考二)若函数f(x)＝eq\f(1,3)x3－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(b,2)))x2＋2bx在区间[－3,1]上不是单调函数，则函数f(x)在R上的极小值为(A)
A．2b－eq\f(4,3) B．eq\f(3,2)b－eq\f(2,3)
C．0 D．b2－eq\f(1,6)b3
解析f′(x)＝x2－(2＋b)x＋2b＝(x－b)(x－2)．
∵函数f(x)在区间[－3,1]上不是单调函数，∴－3<b<1，
则由f′(x)