高三数学导数及其应用知识精讲 人教实验版B.doc

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高三数学导数及其应用知识精讲
一.本周教学内容：
导数及其应用

二.教学重点
导数及其应用

三.高考要求
1.导数及其应用
（1）导数概念及其几何意义
①通过对大量实例的分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了解导数概念的实际背景，知道瞬时变化率就是导数，体会导数的思想及其内涵；
②通过函数图像直观地理解导数的几何意义．
（2）导数的运算
①能根据导数定义求函数y=c，y=x，y=x2，y=x3，y=1/x的导数；
②能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数；
③会使用导数公式表．
（3）导数在研究函数中的应用
①结合实例，借助几何图形直观探索并了解函数的单调性与导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求不超过三次的多项式函数的单调区间；
②结合函数的图像，了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求不超过三次的多项式函数的极大值、极小值，以及闭区间上不超过三次的多项式函数的最大值、最小值；体会导数方法在研究函数性质中的一般性和有效性．
（4）生活中的优化问题举例
例如，使利润最大、用料最省、效率最高等优化问题，体会导数在解决实际问题中的作用．
2.命题走向：
导数是高中数学中重要的内容，是解决实际问题的强有力的数学工具，运用导数的有关知识，研究函数的性质：单调性、极值和最值是高考的热点问题．在高考中考查形式多种多样，以选择题、填空题等主观题目的形式考查基本概念、运算及导数的应用，也经常以解答题形式和其它数学知识结合起来，综合考查利用导数研究函数的单调性、极值、最值，估计2008年高考将继续以上面的几种形式考查，不会有大的变化：
（1）考查形式为：选择题、填空题、解答题各种题型都会考查，选择题、填空题一般难度不大，属于高考题中的中低档题，解答题有一定难度，一般与函数及解析几何结合，属于高考的中低档题；
（2）07年高考已涉及导数综合题，以导数为数学工具考查．

四.教学过程
（一）知识点回顾
1.导数的概念
函数y=f(x)，如果自变量x在x处有增量，那么函数y相应地有增量=f（x+）－f（x），比值叫做函数y=f（x）在x到x+之间的平均变化率，即=．
如果当时，有极限，我们就说函数y=f(x)在点x处可导，并把这个极限叫做f（x）在点x处的导数，记作f’（x）或y’|．
即f（x）==．
说明：
（1）函数f（x）在点x处可导，是指时，有极限．如果不存在极限，就说函数在点x处不可导，或说无导数．
（2）是自变量x在x处的改变量，当时，而是函数值的改变量，可以是零．
由导数的定义可知，求函数y=f（x）在点x处的导数的步骤（可由学生来归纳）：
（1）求函数的增量=f（x+）－f（x）；
（2）求平均变化率=；
（3）取极限，得导数f’(x)=．
2.导数的几何意义
函数y=f（x）在点x处的导数的几何意义是曲线y=f（x）在点p（x，f（x））处的切线的斜率．也就是说，曲线y=f（x）在点p（x，f（x））处的切线的斜率是f’（x）．相应地，切线方程为y－y=f/（x）（x－x）．
3.常见函数的导数公式.
（1）（C为常数） （2）
（3） （4）
（5） （6）
（7） （8）
4.两个函数的和、差、积、商的求导法则
法则1：两个函数的和(或差)的导数，等于这两个函数的导数的和(或差)，
即：(
法则2：两个函数的积的导数，等于第一个函数的导数乘以第二个函数，加上第一个
函数乘以第二个函数的导数，即：
若C为常数，则.即常数与函数的积的导数等于常数乘以函数的导数：
法则3：两个函数的商的导数，等于分子的导数与分母的积减去分母的导数与分子的积，再除以分母的平方：′=（v0）．
5.导数的应用
（1）一般地，设函数在某个区间可导，如果，则为增函数；如果，则为减函数；如果在某区间内恒有，则为常数；
（2）曲线在极值点处切线的斜率为0，极值点处的导数为0；曲线在极大值点左侧切线的斜率为正，右侧为负；曲线在极小值点左侧切线的斜率为负，右侧为正；
（3）一般地，在区间[a，b]上连续的函数f在[a，b]上必有最大值与最小值．①求函数ƒ在(a，b)内的极值；②求函数ƒ在区间端点的值ƒ(a)、ƒ(b)；③将函数ƒ的各极值与ƒ(a)、ƒ(b)比较，其中最大的是最大值，其中最小的是最小值．

【典型例题】
例1.已知s=，（1）计算t从3秒到3.1秒、3.001秒、3.0001秒……各段内的平均速度；（2）求t=3秒时的瞬时速度．
解：（1）指时间改变量；
指时间改变量．
．
（2）从（1）可见某段时间内的平均速度随变化而变化，越小，越接近于一个定值，由极限定义可知，这个值就是时，的极限
v= =
=（6+=3g=29.4(米