高考数学一轮总复习 第15讲 导数在函数中的应用考点集训 理 新人教A版-新人教A版高三全册数学试题.doc

考点集训(十五)第15讲导数在函数中的应用

1．下面为函数y＝xsinx＋cosx的递增区间的是
A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，\f(3π,2)))B．(π，2π)
C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)，\f(5π,2)))D．(2π，3π)

2．已知定义在R上的函数f(x)，其导函数f′(x)的大致图象如图所示，则下列叙述正确的是
A．f(b)>f(c)>f(d)
B．f(b)>f(a)>f(e)
C．f(c)>f(b)>f(a)
D．f(c)>f(e)>f(d)
3．函数f(x)＝x2－2ax＋a在区间(－∞，1)上有最小值，则函数g(x)＝eq\f(f（x）,x)在区间(1，＋∞)上一定
A．有最小值B．有最大值
C．是减函数D．是增函数
4．设函数f(x)＝eq\f(1,2)x2－9lnx在区间[a－1，a＋1]上单调递减，则实数a的取值范围是
A．1<a≤2B．a≥4
C．a≤2D．0<a≤3
5．若函数f(x)＝kx－lnx在区间(1，＋∞)单调递增，则k的取值范围是
A．(－∞，－2]B．(－∞，－1]
C．[2，＋∞)D．[1，＋∞)
6．函数f(x)＝x3－3x－1，若对于区间[－3，2]上的任意x1，x2，都有|f(x1)－f(x2)|≤t，则实数t的最小值是
A．20B．18
C．3D．0
7．若f(x)＝x3＋3ax2＋3(a＋2)x＋1有极大值和极小值，则a的取值范围是______________．
8．已知函数f(x)＝x3－ax2－3x.
(1)若f(x)在[1，＋∞)上是增函数，求实数a的取值范围；
(2)若x＝3是f(x)的极值点，求f(x)的单调区间．

9．已知函数f(x)＝ex－ax(a为常数)的图象与y轴交于点A，曲线y＝f(x)在点A处的切线斜率为－1.
(1)求a的值及函数f(x)的极值；
(2)证明：当x>0时，x2<ex；
(3)证明：对任意给定的正数c，总存在x0，使得当x∈(x0，＋∞)时，恒有x2<cex.

第15讲导数在函数中的应用
【考点集训】
1．C2.C3.D4.A5.D6.A
7．(－∞，－1)∪(2，＋∞)
8．【解析】(1)对f(x)求导，得f′(x)＝3x2－2ax－3.
由f′(x)≥0，得a≤eq\f(3,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,x))).
记t(x)＝eq\f(3,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,x)))，当x≥1时，t(x)是增函数，
∴t(x)min＝eq\f(3,2)(1－1)＝0.∴a≤0.
(2)由题意，得f′(3)＝0，即27－6a－3＝0，∴a＝4.
∴f(x)＝x3－4x2－3x，
f′(x)＝3x2－8x－3.
令f′(x)＝0，得x1＝－eq\f(1,3)，x2＝3.
当x变化时，f′(x)、f(x)的变化情况如下表：
xeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(1,3)))－eq\f(1,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)，3))3(3，＋∞)f′(x)＋0－0＋f(x)极大值极小值∴f(x)的单调递增区间为eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(1,3)))，[3，＋∞)，f(x)的单调递减区间为eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)，3)).
9．【解析】(1)由f(x)＝ex－ax，得f′(x)＝ex－a.
又f′(0)＝1－a＝－1，得a＝2.
所以f(x)＝ex－2x，f′(x)＝ex－2.
令f′(x)＝0，得x＝ln2.
当x<ln2时，f′(x)<0，f(x)单调递减；
当x>ln2时，f′(x)>0，f(x)单调递增．
所以当x＝ln2时，f(x)取得极小值，
且极小值为f(ln2)＝eln2－2ln2＝2－ln4，
f(x)无极大值．
(2)令g(x)＝ex－x2，则g′(x)＝ex－2x.
由(1)得g′(x)＝f(x)≥f(ln2)>0，
故g(x)在R上单调递增，又g(0)＝1>0，
因此，当x>0时，g(x)>g(0)>0，即x2<ex.
(3)①若c≥1，则ex≤cex.
又由(2)知，当x>0时，x2<ex.
所以当x>0时，x2<cex.
取x0＝0，当x∈(x0，＋∞)时，恒有x2<cex.