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方向导数与梯度要求:了解方向导数与梯度的概念,会计算方向导数与梯度方法。重点:方向导数与梯度的计算。难点:梯度的几何意义,方向导数与梯度的联系。作业:习题8-7(SKIPIF1<0)SKIPIF1<0一.方向导数问题提出:在许多实际问题中,常常需要知道函数SKIPIF1<0在点SKIPIF1<0沿任意方向或某个方向的变化率.例如预报某地的风向和风力就必须知道气压在该处沿着哪个方向的变化率,在数学上就是多元函数在一点沿给定方向的方向导数问题.1.方向导数定义设函数SKIPIF1<0
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方向导数概念与计算公式1.方向导数的定义定义2.方向导数的几何意义ρ一定为正!事实上,?方向导数与梯度证注例考虑函数定点P0(3,1),P1(2,3).求函数在P0沿方向的方向导数.解故练习推广可得三元函数方向导数的定义解故练习1996年研究生考题,填空,3分问题方向导数与梯度方向导数与梯度结论在几何上类似于二元函数,此梯度也是一个向量,其方向与取得最大方向导数的方向一致,其模为方向导数的最大值.类似地,解方向导数与梯度方向导数与梯度方向导数与梯度1992年研究生考题,填空,3分方向导数与梯度例故方向导数
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一、方向导数方向导数例1求函数zxe2y在点P(1,0)处沿从点P到点Q(2,1)的方向的方向导数.例2.求函数定理:例3.设二、梯度|gradf(x0y0)|cos(gradf(x0y0),^el)函数在一点的梯度垂直于该点等值面(或等值线),于是gradf(1,1,2)三数量场与向量场如果对于空间区域G内的任一点M,都有一个确定的数量f(M),则称在这空间区域G内确定了一个数量场.势与势场向量函数gradf(M)确定了一个向量场(梯度场),它是由数量场f(M)产生的.通常称函数f(M)
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方向导数与梯度一、方向导数的定义若f在P0点存在关于x的偏导数,则f在P0点沿x轴正向的方向导数定理17.6:上式两边同除以ρ对于二元函数,相应结果为x例1.求函数下面计算函数的偏导数:二、梯度的概念所以方向导数是梯度在方向l上的投影.这就是说,f在P0的梯度方向是f的值增长最快的方向,且沿这一方向的变化率就是梯度的模;而当l与梯度向量反方向时,方向导数取得最小值-|gradf(P0)|.梯度的基本运算公式内容小结2.梯度P.1271,2,3例4.思考题思考与练习曲线2.P73题16备用题1.指向B(3,
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