如何利用几何画板作图.docx

如何利用《几何画板》作图

在中学数学教学工作中，我们经常会遇到需要画图的情况．笔者以自己在工作中所遇到的实际问题为例，说明如何应用几何画板画出符合要求的图形，并简要说明这些画图方法正确及可行的理论依据．
一画简单的几何图形
1．按已知条件画几何图形
例1．已知：梯形ABCD中．AD∥BC．AB=AD+BC．E是CD的中点．求证：AE、BE分别平分∠BAD、∠ABC．
如图1，我们可以从已知条件出发，按照以下操作步骤，画出符合例1的题意的图形．
（1）画出腰AB和两底所在的射线；
（2）在线段AB上任取一点F，分别以点A、B为圆心，以AF、BF长为半径作圆，与两底所在的射线交于点D、C．显然，AD+BC=AB．
（3）取线段CD的中点E，连结AE、BE；
（4）将作图过程中的辅助图形隐藏，即可得到符合题目要求的图形（如图2）．

图（1）图（2）图（3）图（4）
2．从结论出发画几何图形
若要证明的命题的逆命题也成立，则可以从结论出发画出几何图形．
仍以例1为例．例1的逆命题是：在梯形ABCD中，AD∥BC，∠DAB和∠CBA的平分线交于点E，点E恰好在腰CD上．则：AB=AD+BC，E是CD的中点．
显然，∠AEB=90°．如图3，设线段AB的中点是点G，连结EG，则AG=EG，即：∠AEG=∠EAG=∠EAD．所以AD∥EG，因此，CE=DE，AD+BC=2EG=AB．
由于例1的逆命题是真命题，所以我们可以从例1的结论出发画出符合题意的几何图形．画图步骤如下：
（1）如图4，画出腰AB和两底所在的射线；
（2）作∠A和∠B的角平分线，交于点E；
（3）在一底所在的射线上任取一点C，作射线CE，交另一底所在的射线于点D；
（4）连结相关线段，并将作图过程中的辅助图形隐藏，即可得到符合题意的图形．
从以上例题可以看出，平面几何作图问题通常可以化归为确定某些点的位置的问题．而一个点的位置往往是由两个条件决定的．如果放弃了条件2，让这个点按照条件1而运动起来，即可以生成轨迹1；同样的，如果放弃了条件1，让这个点按照条件2而运动起来，即可以生成轨迹2．轨迹1和轨迹2的交点即为符合题意的点．通常情况下，这个点往往是两条直线的交点，或一条直线与一个圆的交点，或两个圆的交点．这种作图方法叫做轨迹交截法，简称交轨法．
作为练习，读者可以试一试画出符合下题题意的图形．
如图5，梯形ABCD中，∠ADC＝90°，∠AEC=3∠BAE，AB∥CD，E是BC的中点．求证：CD=CE．图（5）
二检验几何命题的正确性
有时我们费尽心机地试图证明一个几何命题，结果却发现这是个假命题．我们能否尽力避免这一情况的发生呢？几何画板可以准确快速地画出动态图形，并且在图形的运动变化中保持给定的几何性质不变．因此，我们可以利用几何画板来检验几何命题是否正确．
例2．以任意三角形的三条中线为边，可以构成新的三角形．以任意三角形的三条角平分线（或高）为边，能否构成新的三角形呢？
用几何画板画图进行验证．如图6，AD、BE、CF分别是△ABC三个内角的角平分线．以点B为圆心，以CF长为半径画圆；以点E为圆心，AD长为半径画圆．拖动点A，改变△ABC的形状，发现两圆不一定有交点．这说明：以任意三角形的三条角平分线为边，不一定能构成三角形．用类似方法可以验证以任意三角形的三条高为边，不一定能构成三角形（如图7）．

图（6）图（7）
三画函数图象
1．画定义域为R的函数的图象
例3．画函数y=x2+3x－2的图象．
在几何画板中选择“图表”菜单中的“绘制新函数”命令，然后在弹出的对话框（如图8）中直接输入函数解析式“x^2+3x－2”，再按“确定”按钮，即可以画出函数图象（如图9）．

图（8）图（9）
2．画定义域为限定区间的函数的图象
例4．画函数y=x2+3x－2（－4≤x≤1．5）的图象．
将鼠标指针移动到上面画出的函数图象上，然后按鼠标右键，选择“属性”命令，在弹出的对话框（如图10）中指定自变量x的取值范围．将x的取值范围改成－4≤x≤1．5后，相应的图象变为如图11所示的一段曲线．

图（10）图（11）
如果只需要粗略地指定限定区间，可以用鼠标选择函数图象上的箭头，然后按住鼠标左键拖动即可．
四画复杂的几何图形
1．用自定义工具画图
“几何画板”允许用户创建自定义的工具，这使简单图形（如图12）的绘制可以非常快捷，也使绘制由一系列重复的简单图形构成的复杂图形（如图13）成为可能．用户还可以用复杂图形（如图14）创建新的“自定义工具”，从而大大降低绘图工作的劳动强度，节约大量的时间．
创建用户自定义工具的方法如下（以创建画正方体的工具为例）：
（1）在几何画板中画一个正方体（如图12）；
（2）选择这个正方体的所有顶点和棱；
（3）点击几何画板窗体左侧的“自