因式分解解方程.docx

解一元二次方程-因式分解法
一、教学目标
1．会用因式分解法解一元二次方程；
2．会用换元法解一元二次方程；
3．灵活选用简便的方法解一元二次方程.二、教学重难点会用因式分解法解一元二次方程；
灵活选用简便的方法解一元二次方程.三、教学过程

知识
回顾1．分解因式的常用方法有哪些？
（1）提取公因式法：
am+bm+cm=m(a+b+c)
（2）公式法：
，，
（3）十字相乘法：

新知
讲解1．因式分解法
把一个多项式分解成几个整式乘积的形式叫做分解因式.
当一元二次方程的一边是0，而另一边易于分解成两个一次因式的乘积时，我们可以使两个一次式分别等于0，从而实现降次.这种解一元二次方程的方法称为因式分解法.
2．因式分解法解一元二次方程的步骤：
①把方程的右边化为0；
②用提公因式法、公式法（这里指因式分解中的公式法）或十字相乘法把方程左边化成两个一次因式乘积的形式；
③令每一个因式分别等于0，得到两个一元一次方程；
④解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解.
3．因式分解法的条件、理论依据
因式分解法解一元二次方程的条件是：方程右边等于0，而左边易于分解；
理论依据是：如果两个因式的积等于零，那么至少有一个因式等于零.

典例
探究

1．用因式分解法解一元二次方程
【例1】用因式分解法解方程：
（1）2(2x－1)2=(1－2x)；（2）4(y＋2)2=(y－3)2.
总结：
用因式分解法解一元二次方程，是利用了“当ab=0时，必有a=0或者b=0”的结论.
因式分解法解一元二次方程的步骤：
（1）把方程的右边化为0；
（2）用提公因式法、公式法（这里指因式分解中的公式法）或十字相乘法把方程左边化成两个一次因式乘积的形式；
（3）令每一个因式分别等于0，得到两个一元一次方程；
（4）解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解.
练1（2014秋•赵县期末）用因式分解法解方程：x2﹣6x+9=（5﹣2x）2

2．用换元法解一元二次方程
【例2】（2014•山西校级模拟）解方程（x﹣1）2﹣5（x﹣1）+4=0时，我们可以将x﹣1看成一个整体，设x﹣1=y，则原方程可化为y2﹣5y+4=0，解得y1=1，y2=4．当y=1时，即x﹣1=1，解得x=2；当y=4时，即x﹣1=4，解得x=5，所以原方程的解为x1=2，x2=5．利用这种方法求方程（2x+5）2﹣4（2x+5）+3=0的解．

总结：
换元法在解特殊一元二次方程的时候用的较多，运用了整体思想.
在一元二次方程中，某个代数式几次出现，用一个字母来代替它可以简化问题时，我们可以考虑用换元法来解.
解高次方程时，通过换元的方法达到降次的目的．
练2（2015•呼和浩特）若实数a、b满足（4a+4b）（4a+4b﹣2）﹣8=0，则a+b=_______．
练3解方程：（x2-3）2-5(3-x2)+4=0.

3．灵活选用方法解一元二次方程
【例3】（2014秋•漳县校级期中）选择适当方法解下列方程：
（1）x2﹣5x+1=0；
（2）3（x﹣2）2=x（x﹣2）；
（3）2x2﹣2x﹣5=0；
（4）（y+2）2=（3y﹣1）2．

总结：解一元二次方程常用的方法有直接开平方法、配方法、公式法和因式分解法，根据一元二次方程的特征，灵活选用解方程的方法，可以起到事半功倍的作用.
（1）一般地，当一元二次方程一次项系数为0时，即形如ax2+c=0形式的一元二次方程，应选用直接开平方法.
（2）若常数项为0，即形如ax2+bx=0的形式，应选用因式分解法.
（3）若一次项系数和常数项都不为0，即形如ax2+bx+c=0的形式，看左边的整式是否能够因式分解，如果能，则宜选用因式分解法；不然选用公式法；不过当二次项系数是1，且一次项系数是偶数时，用配方法也较简单.
（4）公式法虽然是万能的，对任何一元二次方程都适用，但不一定是最简单的.因此在解方程时，我们首先考虑能否应用直接开平方法、因式分解法等简单方法，若不行，则再考虑公式法（适当也可考虑配方法）.
练4（2015春•无锡校级期中）选择合适的方法解下列方程.
（1）x2﹣5x﹣6=0；
（2）3x2﹣4x﹣1=0；
（3）x（x﹣1）=3﹣3x；
（4）x2﹣2x+1=0．

课后
小测一、选择题
1．方程（x-16）(x+8)=0的根是（）
A.x1=-16，x2=8B.x1=16，x2=-8C.x1=16，x2=8D.x1=-16，x2=-8
2.方程5x(x+3)=3(x+3)的解为（）
A.B.C.D.
3.（2015•滕州市校级模拟）方程x2﹣2x=3可以化简为（）
A．（x﹣3）（x+1）=0B．（x+3）（x﹣1）=0
C．（