复旦大学高等代数解答.docx

复旦大学高等数2000
蓝戈解答
求方阵

的逆阵。
解：利用行变换，从而

2．设为一个阶方阵且的秩等于的秩。证明的秩等于的秩。
解：利用Jordan矩阵：，，
，从而，于是，命题获得了证明
3．设为一个阶正交阵，为一组线性无关的列向量，对于都有。如果的行列式等于1，证明是单位矩阵。
解：利用线性变换来处理为一个正交基，则容易由可以知道
，从而，所以命题就获得了证明
4．设是一个自然数，是由所有实矩阵构成的维实向量空间，和分别为由所有对称矩阵和反对称矩阵构成的空间。证明，既是和的直和。
解：，对称，反对称，从而，又，从而有了，命题获得了证明
5．设为一个数域，为上以作为不定元的多项式全体所组成的集合。设，其中。假定是中的一个不等于零的数。证明可以表示成有限多个以下类型的矩阵的乘积：其中是中的非零数，而.
证明：由为常数可以知道是可逆的，然后结合常数矩阵的初等变换来处理这个x矩阵，很容易知道是x矩阵的几个初等变换。从而结合对于可逆常数矩阵可以用初等矩阵来表示就知道是显然命题成立的，这里就免除证明了。