向量证明三线共点与三点共线问题.docx

用向量证明三线共点与三点共线问题
山东徐鹏
三线共点、三点共线是几何中经常遇到的问题，直接证明往往很困难，用向量法解决则简捷得多．
证明A、B、C三点共线，只要证明与共线即可，即证明．证明三线共点一般须证两线交点在第三条直线上．
证明：若向量、、的终点A、B、C共线，则存在实数、，且，使得；反之，也成立．A
O
B
C
图1

证明：如图1，若、、的终点A、B、C共线，则//,故存在实数m,使得，又，，故，．令则存在使得．
若，其中则，．从而有－＝(－)，即．又因为有公共点B,所以A、B、C三点共线，即向量、、的终点A、B、C共线.

证明：三角形的三条中线交于一点．
证明：如图2，D、E、F分别是三边上的中点．A
B

C
E
D
F
图２

G

设．则

，又

则
，所以，所以G在中线CF上，所以三角形三条中线交于一点．