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单旋翼固定尾迹分析

1旋翼气动模型的建立

图3－1实心涡环柱的
离散示意图
对环量沿半径为一常数的“儒氏旋翼”，其涡系仅有一个涡环柱。而在实际情况中，每片桨叶的环量沿半径是变化的:，那么由于从r到r+dr的附着涡增量为,在桨叶后缘r处都要逸出环量为EMBEDEquation.DSMT4－的微元自由涡。于是最后得到的是由无限多的同心涡环柱构成的实心柱体。空间任一点的诱导速度都是这无限多的同心涡柱共同诱导产生的。由于在计算时，无限个涡柱不好实现，因此必须将这无限多的涡环柱加以离散。具体的如图3-1所示，这样，每个涡环柱的环量都是有限值。
具体离散以单旋翼涡系为例，整个实心柱体离散成5个涡系（在程序中最多离散成10个涡系）。5个涡环柱的拖出点及强度如图3－2所示。

图3－2离散涡环柱的拖出位置
及环量大小示意图

2模型的求解
模型建立后，单旋翼有5个涡柱，每个涡柱都有涡强Γ和V1两个待定参数。涡强是将桨叶上的附着涡离散而来的。等效诱导速度沿半径是一常数，其计算公式：

等效诱导速度的作用就是保证在等效前后，通过桨盘的流量不变。有了上述假设，则从一个桨盘上拖出的涡柱，它们的诱导等效速度是一样的，即
V1=V2=V3=V4=V5=。
有了上述的讨论，就可以以Γ和为参数联立一方程组。以单旋翼为例，
列方程组如下：

式中Ｗa,Ｗb,Ｗc,Ｗd分别代表a,b,c,d四个桨叶站点处的桨叶旋转速度,即等于各处的Ωr。ψa,ψb,ψc,ψd,分别代表a,b,c,d四个桨叶站点处的桨叶安装角。代表第一个涡柱对桨叶上的a站点的诱导速度系数，其值等于V轴计算公式：

中提取出Γ/V1后的部分。这些诱导速度系数只跟待求点与涡柱的相对位置有关。因此，一旦桨叶上环量的离散方式确定下来，这些系数也确定了。这样，整个联立方程组中只有六个待定变量，Γ1,Γ2,Γ3,Γ4,Γ5,。用5个方程同时求解6个未知数，是不可能的。
经分析，发现若给定一个初始值，则上面的方程组就变成一个关于
Γ1,Γ2,Γ3,Γ4,Γ5的线性方程组。将方程组变形后，可得到矩阵方程组：
。
式中， 。
这个方程组求解很简单，可采用Gauss列主元消去法。经编程实现，证明此方程解存在且唯一。
解出了5个环量后，利用初始的值，就可以求得流场中任一点的诱导速度。根据公式，可计算出新的等效诱导速度，从而得到新的值。如果新的不满足收敛条件，将新的作为新一轮迭代计算的初始值。依次进行，直到收敛。
整个模型的求解过程，可用下面的流程图表示。

图3－4固定尾迹分析法的求解流程图

3旋翼拉力、功率的计算
得到一组耦合的环量、后就可以进行拉力、功率的计算了。由于采用的是无限片桨叶的模型，所以流场中的诱导速度就没有瞬时速度与平均速度之分。将整个涡系模型中所有的涡柱的诱导贡献叠加，可以得到桨叶上各点的诱导速度。
有了诱导速度，本文采用叶素理论来计算桨叶的拉力和功率。首先计算得到桨叶上各叶素的诱导速度，从而可以计算该叶素所受的拉力和阻力，然后将各个叶素总和起来得到一片桨叶的气动力和功率。整个旋翼的气动力和功率则来源于各片桨叶相加。其计算公式如下：

计算上式时，采用可采用数值积分法，将桨叶从0～R等分成100段，将这100段桨叶上的拉力、阻力相加，得到一片桨叶的拉力和功率。考虑到存在桨根损失及桨尖损失，式中取=0.2,=0.98。这样上述计算公式可写成：

4算例
为了验证上述模型和算法的合理性，有效性，以某实验为对比算例，计算不同总距角时的拉力和需用功率。
该模型旋翼直径是1.89米，弦长是0.076米，翼型是NACA-0012,桨叶无扭转，桨叶转速1200转/分，桨尖速度118.7米/秒，单旋翼有2片、4片两种，平面形状为矩形。升力线斜率5.73;

计算结果见图3－5。图中实线是本文的计算结果，实验结果用点代表。可见，计算结果与实验数据基本吻合，说明本文的方法对于单旋翼是有效的。

图3－5计算与实验的拉力和功率系数对比