分部积分法教案.docx

分部积分法
教学目的：使学生理解分部积分法，掌握分部积分法的一般步骤及其应用。
重点：分部积分法及其应用
难点：在分部积分法中，要恰当的选取u和v
教学方法：讲练法
0回顾
上几节课我们学习了不定积分的求法，要求我们①熟记基本初等函数积分公式表②熟练、灵活的运用第一换元积分法（凑微法）③熟练、灵活的运用第二换元积分法。
凑微法：实质是在被积函数中凑出中间变量的微分；

第二换元积分法：关键是通过适当的变量替换，使得难求的积分易求

1引入
用我们已经掌握的方法求不定积分
分析：①被积函数为两函数的乘积不是基本的积分公式。
②凑微法失效。
③第二类换元积分法
解：不妨设
原方程更为复杂
所以凑微法和第二换元积分法都失效。
反之考虑，两函数乘积的积分不会，但两函数乘积的求导我们会，比如：（假设u、v为两个函数）
已知：
对上式两边积分得：
移项得：
观察上式发现被积函数也是两函数乘积的形式，注意：中v’为导数形式。
故，我们可以尝试来解一下上面的积分。

真是：山重水复疑无路，柳暗花明又一村。通过上面的方法，我们顺利的解决两函数乘积的积分。其实上面的公式正是这一节课要讲述的“分部积分法”。
2公式
2.1定理设函数和及都具有连续的导数，则有分部积分公式：
（或）

说明：①两函数的积分等于将其中一个放在d里后，里外相乘减去换位的积分。
②内外积减去换位“积”。
③步骤：a、放d中，b、套公式。
2.2例1求不定积分
解:

3的选取问题
例2求不定积分
解：

容易发现使用分部积分公式后，变得更加复杂了，是我们的公式用错了吗？不妨换个角度看问题：

发现问题解决了，问题出在哪里？观察发现，这两种做法的不同之处在于把谁放在d里，换句话说就是则样选择u和v的问题，由上面的例看出运用分部积分公式时恰当的选择u和v是十分重要的，选对了可以轻松解题，选错了，轻则解题复杂，重则解不出结果。那么应该如何选取u和v的呢？
我们来看一下公式，要把v放在d中首先要对v积分，所以v要便于积分；而u要进行求导，所以u便于求导；实际上关键是v，v定了，u怎然定了。所以选取的原则是：v便于积分，u便于求导。
例3求不定积分
分析：对于x和lnx来说明显的x便于积分，故选lnx做u

实际上在选取v时是相对的，两个函数中更便于积分的做v，我们列出了一个积分从难到易顺序：反、对、幂、三、指；一般在做题的时候我们选取后面的做v.
4例题讲解
例4求不定积分
分析：此为一个函数的积分，当然不能使用凑微法、换元法积分，可是不满足两函数乘积，能否用分部积分公式呢？其实只需要将被积函数看作即可。
解：

结论：学习数学重要的是记忆、理解公式，更重要的是灵活应用。
例5求不定积分

解：

结论：分部积分公式是可以重复使用的。
例6求不定积分
解：

好像进入了死胡同，实则不然，令,则上式变为：

问题得以解决。故要灵活的处理问题。
5小结
1、分部积分的公式
2、U、V的选取
3、灵活的使用公式