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傅立叶变换在图像处理中的应用
摘要
傅立叶变换研究是应用数学的一个重要方向，一个多世纪以来，傅立叶变换作为数学工具被迅速的应用到图像和语音分析等众多领域。傅立叶变换（FT）作为数字图像处理技术的基础，通过在时空域和频率域来回切换图像，对图像的信息特征进行提取和分析，简化计算工作量，被誉为描述图像信息的第二种语言。
本文首先简述了傅立叶变换的原理及应用领域，分析了其变换的数学原理和方法。接着介绍了几个基本的滤波器的理论基础。然后讨论了傅立叶变换在图像处理中的作用，其中着重介绍了图像增强及其原理和方法，并详细描述了在实验中图像增强的实验步骤和如何运用MATLAB软件对图像进行图像增强的实验方法。

关键字：图象处理傅立叶变换低通滤波器高通滤波器图像增强

一、引言
傅立叶变换是信号处理中最重要，应用最广泛的变换。从某种意义上来说,傅立叶变换就是函数的第二种描述语言。傅里叶变换理论及其物理解释两者的结合，对图像处理领域诸多问题的解决提供了有利的思路，它让我们从事物的另一侧面来考虑问题，这样在分析某一问题时就会从空域和频域两个角度来考虑问题并来回切换，可以在空域或频域中思考的问题，利用频域中特有的性质，可以使图像处理过程简单，有效，对于迂回解决图像处理中的难题非常有帮助，被广泛应用于数字图像处理中。
傅里叶变换在物理学、电子类学科、数论、组合数学、信号处理、概率论、统计学、密码学、声学、光学、海洋学、结构动力学等领域都有着广泛的应用。尤其在信号处理中，傅里叶变换的典型用途是将信号分解成幅值分量和频率分量。随着傅里叶变换在不同领域不同范围内的延伸以及涉及的范围之广，其发展趋势也愈显“数字化”，更是与计算机技术密不可分。目前，在信号处理与通讯领域里，使用最活跃的当属在数学类科技应用软件中的MATLAB。其在数值计算方面首屈一指，而当前傅里叶变换在通信领域中的应用又是基于这一数学软件，称做快速傅里叶变换。并且除了数字信号处理之外，其出色的图形处理功能使其在数字图像处理技术上解决了傅里叶变换在这些应用领域内的特定类型的问题，使傅里叶变换在通信中得以更好的应用与发展。

二、理论基础
2.1傅里叶变换
定义：单变量连续函数的傅里叶变换定义为等式

其中。相反，给定，通过傅里叶逆变换可以获得，即

这两个等式组成了傅里叶变换对。这些等式扩展到两个变量，即

类似地，逆变换为：

对于离散函数来说：

相应的，逆变换为：

同样地，将离散傅里叶变换推广到两个变量，即

其中。
同样，二维离散傅里叶逆变换如下：

其中。
通常在进行傅里叶变换之前用乘以输入的图像，由于指数的性质，很容易得到：

这个等式说明，用乘以可将原点变换到频率坐标下的，二维傅里叶变换设置的区域的中心。
如果是实函数，则它的傅里叶变换必然为对称的，即

其中“*”表示对复数的标准共轭操作。由此，它遵循

其中，傅里叶变换的频率谱为对称的。

2.2几个基本的滤波器
我们将考虑三种滤波器：理想滤波器、巴特沃斯滤波器和高斯滤波器。巴特沃斯滤波器有一个参数，成为滤波器的“阶数”。当参数的值比较高时，很接近理想滤波器。因此巴特沃斯滤波器可看成是另外两种滤波器的过渡。在频域里，滤波器分为低通滤波器、高通滤波器等。接下来我们将详细介绍低通滤波器，而由相应的理想低通滤波器、巴特沃斯低通滤波器和高斯低通滤波器很容易就得到相应的高通滤波器，这里不做过多介绍。
边缘和其他剧烈变化的图像在灰度级中主要处于傅里叶变换的高频部分，因此，平滑(模糊)可以通过衰减指定图像傅里叶中高频成分的范围来实现：

其中是被平滑的图像傅里叶变换。目标是选择一个滤波器变换函数，以通过衰减的高频成分产生。

2.2.1理想低通滤波器
低通滤波是要保留图像中低频分量去除高频分量。高频分量处在距变换远点的距离比指定距离远很多的位置。这种为二维理想低通滤波器(ILPF)，其变换函数为：

其中是指定的非负数值，是距离频率矩形中心的距离。如果要研究的图像的尺寸为，则

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如上图所示，完整的滤波器可以将此横截面绕原点旋转来实现。其中成为“截止频率”。理想低通滤波器的这种陡峭的截止频率虽然可以在计算机上实现，但是，不能用电子部件来实现，所以理想滤波器是不实用的。

2.2.2巴特沃斯低通滤波器
阶巴特沃斯低通滤波器（BLPF）的传递函数（截止频率距原点的距离为）定义如下：

其中不同于ILPF,BLPF变换函数在通带与被滤除的频率之间没有明显的截断。对于有平滑传递函数的滤波器，定义一个截止频率的位置并使幅度降到其最大值的一部分。当时，（从最大值降到它的一半）。
一阶的巴特沃斯滤波器没有振铃，在二阶中振铃通常很微小，这是因为与理想低通滤波器相比，它的通带与阻带之间没有明显的跳跃，在高低频率间的过渡比较光滑。巴