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三棱锥外接球问题
河北师范大学实验中学秦琳
摘要:三棱锥外接球问题是高考热点，也是难点，常见的椎体外接球问题是有固定方法的，本文做了一些总结。
关键字：三棱柱，外接球，高考题
引入语:近几年三棱锥外接球问题，经常出现在高考题中，本文就常见的几种题型做一些介绍，希望对同学们有所帮助。
(2011年全国高考题)（11）已知三棱锥的所有顶点都在球的求面上，是边长为的正三角形，为球的直径，且；则此棱锥的体积为

【解析】选
的外接圆的半径，点到面的距离
为球的直径点到面的距离为
此棱锥的体积为
此解法充分利用了球当中的性质：每一个截面圆的圆心与球心的连线垂直于截面圆所在平面。下面就几个例题简单总结一下三棱锥外接球问题。
1.(2010辽宁11)已知是球表面上的点，，，，，则球表面积等于选
（A）4（B）3（C）2（D）
【解析】该椎体可以补成一个长方体，而长方体的体对角线就是外接圆的直径，所以可轻松得解。解：
练一练：将边长为2的正沿边上的高折成直二面角，则三棱锥的外接球的表面积为．
答案：
说明：对于直角四面体和双垂四面体，都可以补成长方体或正方体，再利用体对角线是外接球直径这一性质求解。
2.点A、B、C、D均在同一球面上，其中△ABC是正三角形，AD⊥平面ABC，AD=2AB=6则该球的体积为。
解析：由于有一条棱垂直于底面，所以该棱柱可以补成一个直三棱柱，而直三棱柱的外接球的球心正好是三棱柱中截面的外接圆圆心。
答案：
说明：对于能补成直三棱柱的三棱锥外接球问题皆可用此法解。
3.正四面体的边长为2，求该四面体外接球的表面积。
解析：正四面体可以看成是有一个正方体的四条对角线构成的，所以它的外接球与正方体的外接球是同一个，从而轻松得解。
解：若对角线为2，则边长为，体对角线为，球半径为，表面积为。
另解：,

此法对于顶点在底面的射影是地面三角形的外心的三棱锥外接球问题皆可用。