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一类Jacobi矩阵的广义特征值反问题

周政明
（北京邮电大学信息与通信工程学院10班学号：105519）

摘要：在综合分析矩阵论中某些反问题和Jacobi矩阵特征值反问题的基础上，提出了一类Jacobi矩阵广义特征值反问题，给出了问题有唯一解的一个充要条件和解的表达式，并提供了一个数值例子。
关键词：Jacobi矩阵；特征值；广义特征值；反问题

关于Jacobi矩阵特征值反问题的研究，自1967年以来，HochstadtH,DeBoorC&GolubGH等提出了由Jacobi矩阵的全部特征值及其它特征信息来构造Jacobi矩阵的三类特征值反问题；然而在有关振动的实际问题中，这相当于既要知道结构的全部自振频率，又要知道拆除或固定一部分结构后，子结构的全部自振频率。对这种拆除或固定，在工程上是不易实现的。在工程中的实际问题，一般是知道结构的部分频率及相应的振型，来求解一些未知量。如：（1）在结构设计中，要求设计出的结构具有某些频率特性和（或）振型特性；（2）在系统识别中，测量出某些（最少）频率和（或）振型信息，以此识别出结构。问题（1）的解可以不唯一；问题（2）的解则要求是唯一的，构造或识别系统的参数可以是全部的，也可以是部分的。这里频率对应于特征值，振型对应于特征对。频率和振型这些数据可以通过振动试验测得。因此，笔者提出如下一类Jacobi矩阵的广义特征值反问题：
问题给定n阶实对称矩阵B=(bij)n×n，且B正定，给定2个互异实数λ，μ和2个n维非零实向量x,y,要求构造一个n阶Jacobi矩阵

其中bi>0(i=1,2,……,n-1)，使得（λ，x）和（μ，y）是广义特征值问题Ax=λBx的特征对，x=(x1,x2,……,xn)T,y=(y1,y2,……,yn)T
引理设A为n×n正定Hermite阵，则存在上三角阵L，其对角元素皆为正数，
使得A=LTL，若A为正定实对称矩阵，则L的元素皆为实数。
引理2设M∈Rn×n，且M非奇异，A为实对称矩阵，则M-1A(MT)-1为实对称矩阵。
证明由M∈Rn×n且M非奇异可知M-1∈Rn×n，从而(M-1)T=(MT)-1∈Rn×n，于是M-1A(MT)-1∈Rn×n。又A为实对称矩阵，AT=A，所以
［M-1A(MT)-1］T=［(MT)-1］T(M-1A)T=M-1AT(M-1)T=M-1A(MT)-1
即M-1A(MT)-1为实对称矩阵。

1主要结果
对于n阶Jacobi矩阵A，记α=（a1,b1,a2,b2,……，an-1,bn-1,an）T,对于给定的λ，μ，x和y，由Ax=λBx和Ay=μBy，可得方程组
Jα=β
其中

Β=(λe1Bx,μe1By,……,λen-1Bx,μen-1By,λenBx,μenBy)T。ei表示n阶单位矩阵的第i行。
因为由A可以唯一确定α，反之亦然，所以问题的可解性等价于方程组的可解性。令：

其中xi，yi分别为x和y的第i个分量。

关于问题的可解性，有如下结果：
定理1设λ，μ为2个互异实数，x，y是2个n维非零实向量，则问题有唯一解A的充要条件是（i）xTBy=0;(ii)fi/Di>0(i=1,2,……,n-1)。
证明充分性。由方程组（1）的前2个方程有
==>
由条件(ii)知D1≠0，得a1,b1存在且b1>0.一般地，有
=
由条件(ii)知Di≠0，得ai,bi存在(i=2，……，n-1)。以下证明bi>0。
由（2）（3）式有：

将上述等式累加得

故
i=1,2,……,n-1
由条件(ii)知bi>0由方程组（1）最后2个方程得：

在（4）中令i=n–1，得

现证（5）与（6）等价。只要证明，亦即要证：

而B是实对称矩阵，BT=B，故

所以。所以（5）与（6）等价，方程组（1）的解唯一亦即问题的解唯一。
必要性。假定问题存在解A，使得，。因B为对称正定矩阵，由引理1，存在上三角阵L1，使得；即存在下三角阵L，使得。于是，故。
令，，则，变为。同理，令，则变为。和分别为C的不同特征值对应的特征向量，又由引理2知，C为实对称阵，故，即，亦即，故。
又因为问题的解唯一，即方程组（1）的解唯一，可知（i=1，2，……，n-1），且由（i=1，2，……，n-1）知。

2算法及例子
由上述证明过程知，求问题唯一解的方法：
（1）计算，若，则无唯一解；
（2）计算，若Di=0，则无唯一解；
（3）计算，若，则无唯一解；
（4）计算；
（5）令，则唯一解的表达式为

例给定=1，=2，x=（101），y=（-721），B=，容易计算：

则所求的唯一的Jacobi矩阵为

参考文献
[1]HOCHSTADTH.OnSomeInverseProblemsinMatrixTh