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LMS算法在自适应噪声对消器中的应用
根据环境的改变，使用自适应算法来改变滤波器的参数和结构，这样的滤波器称为自适应滤波器。自适应滤波器的系数是由自适应算法更新的时变系数，即其系数自动连续地适应于给定信号，以获得期望的响应。自适应滤波器的最重要的特征就在于它能够在未知环境中有效工作，并能够跟踪输入信号的时变特征。本文在理解LMS算法实质的基础上对LMS算法在自适应噪声对消器中的应用进行了仿真实现，同时对其收敛性进行了简单分析。
自适应噪声对消器原理
如下图所示，自适应噪声对消器的原始输入端用表示，=+QUOTE，是要抵消的噪声，并且与不相关，参考输入端用表示，这里=，QUOTE是与相关，与不相关的噪声信号，系统的输出用表示=-。

其中，滤波器的传输函数可以根据某一信号（这里为系统的输出信号）自动调整，假定，，QUOTE是零均值的平稳随机过程。
=-=+-(1-1)
输出信号的均方值
==
=++2(1-2)
由于与，不相关，因此与也不相关，则
QUOTE=+(1-3)
QUOTE表示信号的功率。由上面的表达式可以看出，要是输出信号只包含有用信号，或者输出信号的均方值最小，就要求QUOTE取得最小值，由(1-1)式推出等价的条件就是要求取得最小值，即要求输出信号与有用信号的误差的均方值为最小。

2、仿真实现
MATLAB源代码如下：
%用LMS算法设计自适应滤波器
clc;
delta=1/10000;
t=0:delta:1-delta;
t=t';%转换成列向量
s=sin(2*pi*t);
sigma_n0=1;
n0=sigma_n0*randn(size(t));
x=s+n0;%原始输入端的输入信号,为被噪声污染的正弦信号
d=x;%对于自适应对消器，用x作为期望信号
n1=n0;%参考输入端的输入信号，为与n0相关的噪声

%设计自适应滤波器
N=5;%滤波器阶数
w=ones(N,1);%初始化滤波器权值
u=0.0026;%步长因子
y=zeros(length(t),1);
fork=N:length(t)
y(k)=n1(k-N+1:k)'*w;
e(k)=d(k)-y(k);
w=w+2*u*e(k).*n1(k-N+1:k);%更新权值
end
subplot(211),plot(t,x);title('被噪声污染的正弦信号');
subplot(212),plot(t,s,'k',t,e,'g');%对消噪声后，误差信号即为对原始信号的估计
legend('原始正弦信号','自适应滤波后的信号');
axis([01-11]);title('滤波效果');

3、结果分析

通过图像化仿真结果可以看出，通过自适应滤波后，噪声信号被有效地抑制了，较好地还原了原始正弦信号。需要说明的是，由于LMS算法用单个样本误差来代替梯度法的误差均值，即用梯度的估计值代替梯度的精确值，这样算出的权值及误差将是随机变量，但权值的均值将收敛于梯度法算出的最优权值，均方误差也收敛于维纳解。通过仿真LMS算法的平均学习曲线，可以知道，随着样本个数的增加，计算出的误差的均值与原始正弦信号越来越接近，说明LMS算法计算的权值的均值最终会收敛于最优权值。