Banach空间压缩映像原理和不动点原理及其应用.docx

Banach空间压缩映像原理和不动点原理及其应用
——摘要
本文进一步揭示了Banach空间压缩映像原理与完备性的关系,对压缩映像原理与不动点的相关理论做了详细地阐述，并对Banach空间中压缩映像原理与不动点原理的应用做了详细的举例说明。
——关键词
Banach空间压缩原理完备性不动点
——引言
泛函分析是本世纪出才逐渐形成的一个新的数学分支，以其高度的统一性和广泛的应用性，在现代数学领域占有重要的地位。在泛函分析中，Banach空间理论在隐函数定理、微分方程解的存在性定理、积分方程解的存在性定理等等中，否起到了关键的作用，且都归结为一个定理——不动点定理。这正是抽像的结果。
不动点定理实际上是算子方程的求解问题，是分析学的各个分支中存在和唯一性定理的重要基础，它是关于具体问题解的存在唯一性的定理，其中Banach不动点定理，亦称压缩映射原理，它提供了线性方程解的最佳逼近程序，给出了近似解的构造，在常微分方程、积分方程等领域中也有着广泛的应用，在现代数学发展中有着重要的地位和作用。
——正文
⒈Banach空间压缩映像定理及其应用
随着现代电子计算机技术的发展，我们在解方程（包括常微分方程、偏微分方程、积分方程、差分方程、代数方程等）的过程中，大量使用的是逐次逼近的迭代法。几乎可以这样说：对一个方程，只要我们找到一个迭代公式，就算解出了这个方程（当然我们还要考虑迭代公式的收敛性、解的稳定性和收敛速度等问题）。但是，在逐次迭代中，我们必须保证迭代过程中得到的是个收敛序列，否则就是毫无意义的了。而选代法解方程的实质就是寻求变换（映射、映像）的不动点。例如求方程f(x)=0的根，我们可令g(x)=x-f(x)，则求f(x)=0的根就变成求g(x)的不动点，即求,使.而在通常求映射的不动点的方法中，最简单的就是下面我们所讲的--Banach空间压缩映像定理。
定义（压缩映像）
设T是度量空间X到X中的映像，如果对都有（是常数）则称T是X上的一个压缩映像。
从几何上说：压缩映像即点x和y经过映像T后，它们的像的距离缩短了（不超过d(x,y)的倍）
定理1（Banach压缩映像原理）1922年（Banach1892-1945波兰数学家）设（X,d）是一个完备度量空间，T是X上的一个压缩映像，则丅有唯一的不动点。即存在x属于X，使得Tx=x。（证明存略）
对于压缩映像原理的应用，最典型的有以下几个定理可说明问题。
定理2（隐函数存在定理）
设在带状区域上处处连续，处处有关于y的偏导数,且如果存在常数m,M，适合
.则方程在闭区间上有唯一的连续函数,使。
证：（在中考虑映像，若其为压缩映像，则有不动点）
在完备度量空间中作映像,显然,对由连续函数的运算性质有。
是到自身的一个映像
下证是压缩的.
即证,任取由微分中值定理,存在,使

令则,故
取最大值
映像T是压缩的.由Banach压缩映像定理
在上有唯一的不动点使
显然这个不动点适合
注：①注意本定理的证明思路：先确定空间，再找映像（这是难点）,然后证明此映像是压缩的，最后利用定理即得。注意到这是利用Banach压缩映像定理解题的一般方法。
②此隐函数存在定理给出的条件强于数学分析中隐函数存在定理所给出的条件，因而得出的结论也强些：此处得出区间上的连续隐函数.
下面我们介绍Banach不动点定理在常微分方程解的存在唯一性定理中的应用--Picard定理.
定理3：（Picard定理Cauchy--Peano微分方程解的存在唯一性定理）
设在矩形上连续,设又在R上关于x満足Lipschitz（德国人1832--1903）条件,即存在常数k使对有,那么方程在区间上有唯一的满足初始条件的连续函数解.其中
证：设表示在区间上的连续函数全体。
对成完备度量空间。又令表示中满足条件的连续函数全体所成的子空间。显然闭,因而也是完备度量空间.
令
如果当时,
而是R上的二元连续函数,映像中积分有意义。
又对一切
故T是到的一个映像
下证是压缩的。
由Lipschitz条件,对中的任意两点
有

令,则由有.
则故T是压缩的。
由Banach压缩映像定理,T在中有唯一的不动点.
即使
即且
即是满足初值条件的连续解。
再证唯一性。
如果也是满足的连续解.
那么因而
而且也是T的不动点.而T的不动点是唯一的.
故
有唯一解。
注：题设条件中Lipschitz条件的要求是十分强的，它保证了解的唯一性。实际上満足Lipschtz条件即为一致收敛。因而可在积分号下求导，如果把解的要求降低，例如只要求广义解，即只要求满足积分方程则题设条件可大大放宽：只要有界,即可利用Lebesgue控制收敛定理得到广义解。
注意到Banach压缩映像定理不仅证明了方程的解的存在唯一性，而且也提供了求解的方法--逐次逼近法：