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测量不确定度目录第一章：测量不确定度误差第二章：概率统计的基础知识第三章：标准不确定度的评定第四章：异常值系统误差第五章：合成标准不确定度第六章：扩展不确定度第七章：权与不等权测量第八章：最小二乘法第一章：测量不确定度误差1.1概述1.2误差1.2.1误差按表示方式分类1.2.2误差按其性质分类用表示测量结果由于测量误差引起的损失函数，则：

用泰勒级数展开有：

若误差δ=0，则L(Xk)=L(a)=0．不论X比a大或者小，都产生误差，即Ｌ＇（Ｘ）＞０，若损失函数是连续，光滑的即Ｌ＇（ａ）＝０，则故：损失函数和δ²成正比，减小误差可以显著地减小损失．1.3测量不确定度１.３.２测量不确定度的分类１.３.３测量不确定度的来源１.４小结第二章:概率统计的基础知识２.１.２概率分布③

对任意实数x1,x2(x1＜x2),有

注:
1、若已知ξ的分布函数F(x),就可求出ξ落在 (x1,x2]上的概率.
2.单独点的概率在连续情况下通常为0。
对随机变量所有可能的取值x(i=1,2,…),若可列出分布函数
P(ξ=x)=pi,i=1,2,···
则称ξ为离散型随机变量.
若存在非负函数f（x），且

使随机变量ξ取值于任一区间(a,b)的概率为

则称ξ为连续型随机变量,称f（x）为ξ的概率密度函数.概率密度函数性质:

①
②
③若分布函数F(x)的导数存在,则2.2常用的几种概率分布当μ=0,σ=1时,称ξ服从标准正态分布.其概率密度函数,分布函数分别用φ(x),Φ(x)表示，即

且可证明Φ(-x)=1-Φ(x)
若随机变量ξ～N(μ，σ２),则其取值于区间(a,b)内的概率为

通过变量替换,令
则

为标准正态分布.

呈矩形,则称在区间内服从均匀分布。2.2.3三角分布2.2.4梯形分布2.2.5反正弦分布2.3随机变量的数字特征数学期望:
数学期望是以概率为权，对被测量的观测的加权平均。
性质：
①设C是常数，则有E(C)=C；
②设ξ是随机变量，C是常数，则有E(Cξ)=CE(ξ)
③设ξ1,ξ2是任意两个随机变量，则有

④设ξ1,ξ2是两个相互独立的随机变量，则有
2.3.2方差2.3.3协方差与相互系数性质：
①Cov(ξ1,ξ2)=Cov(ξ2,ξ1)
②设a,b是常数,则有
Cov(aξ1,bξ2)=abCov(ξ1,ξ2)
③设ξ1,ξ2和η是三个随机变量,则有
Cov(ξ1+ξ2,η)=Cov(ξ1+a)+Cov(ξ2+b)
2.3.4几种概率分布的期望和方差2.4分布，t分布，F分布自由度一般为总和的项数减去总和中受约束的项数。表示总和的项数为n项.如果对于ξ1,ξ2,∙∙∙,ξn存在一组不完全为0的常数,使得
则称之间存在一个线性约束条件.如果存在k个约束条件
其中系数所组成的k行n列矩阵的秩为k，并且对于任何m(≥k)个约束条件

行n列矩阵的秩总不大于k，则称之间存在k个独立的约束条件。由线性代数可知，在这种场合,中有(n-k)个独立变量。这里k个独立的约束条件也就是总和中有k个受约束的项数，自由度.
性质：
⑴的数学期望等于自由度,即
⑵的方差等于自由度的两倍,即
⑶设,,且他们相互独立,则

⑷统计量的概率积分，即计算取值超过某给定值的概率为a，于是有
2.4.2t分布性质：
⑴t数学期望Ｅ（t）=0
⑵t方差
⑶t变量的概率积分,即计算t取值超过某给定值
的概率a为
2.4.3F分布F分布具有如下性质:
①F的数学期望
②F的方差

③由F分布的定义可知，若随即变量ξ服从分布，则随即变量服从分布.
④2.5大数定律及中心极限定理2.贝努里定理2.5.2中心极限定理2.一般情况第3章标准不确定度的评定3.2标准不确定度的A类评定式中ｐk=P(X=Xk),k=1,2,…,n(n→∞).对于相同条件下的测量,可视为等概率测量.上式可写为

当不存在系统误差时,上式为

由于测量次数是ｎ有限的，把
称为总体方差，其正平方根称为总体标准偏差

总体标准偏差小，说明任一单次观测值对被测量的期望的分散性小。3.2.3自由度3.2.4A类评定的其他方法2.最大残差法3.极差法3.3标准不确定度的B类评定⑶校准或其他证书提供的数据；
⑷手册给出的参考数据及其不确定度和自由度；
⑸以前测量的数据。
为方便起见，把这种方法估计的方
差和估计的标准不确定度的值分别称为B类方差和B类标准不确定度。3.3.2给出ｕ(ｘ)及ν的情况3.3.3给出Ｕ及ｋ的情况
当给出扩展不确定度Ｕ及包含因子ｋ时,标准不确定度ｕ(ｘ)可由下式求得:

例3.1校准证书表明标准值为1000ｇ的不锈钢标准砝码的质量为1000.000325,且
该值的不确定度按3倍标准偏差为240μｇ.可求得该标准砝码的标准不确定度