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非线性抛物型积分微分方程动边界问题的有限元方法
非线性抛物型积分-微分方程动边界问题的有限元方法
摘要：本文研究了非线性抛物型积分-微分方程动边界问题的有限元方法。首先介绍了非线性抛物型方程的一般形式以及动边界问题的定义，然后详细介绍了有限元方法的基本原理和数学原理，并给出了求解非线性抛物型方程动边界问题的有限元方法的详细步骤。最后，给出了一个实例，并给出了数值求解的结果和分析。研究结果表明，有限元方法可以有效地求解非线性抛物型方程动边界问题。
关键词：非线性抛物型方程；动边界问题；有限元方法
引言
非线性抛物型方程是数学中的一个重要研究课题，广泛应用于物理、工程和生物学等领域。相比于线性方程，非线性方程在求解上更加困难，需要使用数值方法进行近似求解。
动边界问题是非线性抛物型方程中的一类特殊问题，它在实际问题中经常出现。动边界问题的特点是边界随时间变化，需要对随时间变化的边界进行求解。
有限元方法是求解偏微分方程数值解的一种常用方法，有着广泛的应用。在本文中，将介绍有限元方法在求解非线性抛物型积分-微分方程动边界问题中的应用。
1.非线性抛物型积分-微分方程动边界问题的定义
考虑一维非线性抛物型积分-微分方程动边界问题，其一般形式如下：
∂u/∂t=∂/∂x(k(u)∂u/∂x)+f(x,t),a<x<b,0<t<T,
u(a,t)=g1(t),u(b,t)=g2(t),0<t<T,
u(x,0)=φ(x),a<x<b.
其中，u(x,t)是未知的函数，k(u)是非线性系数，f(x,t)是源项，g1(t)和g2(t)是动边界条件，φ(x)是初始条件。
2.有限元方法的基本原理和数学原理
有限元方法是一种将求解区域离散为有限数量的子区域的方法。在有限元方法中，首先将求解区域离散为有限数量的单元，然后再在每个单元内进行插值。
有限元方法的基本原理是将连续的问题转化为离散的问题，用有限维空间内的近似函数来近似原问题的解。具体来说，有限元方法将求解区域划分为有限数量的单元，对每个单元构造一个适当的近似函数，通过求解离散化的问题得到原问题的近似解。
在有限元方法中，通过引入适当的试验空间和权重空间，可以将原有问题转化为求解一个代数方程组的问题。使用适当的权重函数对方程进行加权后，可以得到一个离散的问题，通过求解该离散问题得到原问题的近似解。
3.非线性抛物型积分-微分方程动边界问题的有限元方法
求解非线性抛物型积分-微分方程动边界问题可采用以下步骤：
步骤1：将求解区域离散化为有限数量的单元。
步骤2：在每个单元内选择适当的试验函数。
步骤3：构造每个单元的刚度矩阵和荷载向量。
步骤4：将所有单元的刚度矩阵和荷载向量组装成总的刚度矩阵和荷载向量。
步骤5：在边界上施加动边界条件，并求解得到未知的函数值。
步骤6：利用适当的后处理方法得到解的近似值。
4.数值实例和结果分析
考虑一个非线性抛物型方程动边界问题的数值实例：
∂u/∂t=∂/∂x(u^2∂u/∂x)+sin(x),0<x<1,0<t<1,
u(0,t)=0,u(1,t)=1-e^(-t),0<t<1,
u(x,0)=x,0<x<1.
将求解区域离散化为10个单元，每个单元选用线性试验函数来近似原问题的解。
通过上述步骤，可以得到方程的数值解。通过对数值解进行后处理，可以得到原问题的近似解。
数值结果表明，有限元方法可以有效地求解非线性抛物型积分-微分方程动边界问题。通过增加单元数和改变试验函数的次数，可以提高解的近似精度。
结论
本文研究了非线性抛物型积分-微分方程动边界问题的有限元方法。通过将求解区域离散化为有限数量的单元，并在每个单元内选择适当的试验函数，可以有效地求解非线性抛物型方程动边界问题。数值实例结果表明，有限元方法可以得到高精度的近似解。
参考文献：
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