(完整word版)计算方法总结(word文档良心出品).doc

第一章：基本概念
1.
若，称准确到n位小数，及其以前的非零数字称为准确数字。
各位数字都准确的近似数称为有效数，各位准确数字称为有效数字。
2.
进制：，字长：，阶码：，可表示的总数：
3.计算机数字表达式误差来源
实数到浮点数的转换，十进制到二进制的转换，结算结果溢出，大数吃小数。
4.数据误差影响的估计：
，小条件数。
解接近于零的都是病态问题，避免相近数相减。避免小除数大乘数。
5.算法的稳定性
若一个算法在计算过程中舍入误差能得到控制，或者舍入误差的积累不影响产生可靠的计算结果，称算法数值稳定。

第二章：解线性代数方程组的直接法
1.高斯消去法
步骤：消元过程与回代过程。
顺利进行的条件：系数矩阵A不为零；A是对称正定矩阵，A是严格对角占优矩阵。
2.列主元高斯消去法
失真：小主元出现，出现小除数，转化为大系数，引起较大误差。
解决：在消去过程的第K步，交换主元。
还有行主元法，全主元法。
3.三角分解法
杜立特尔分解即LU分解。
用于解方程；
用于求。
克罗特分解：，下三角阵和单位上三角阵的乘积。
将杜立特尔分解或克罗特分解应用于三对角方程，即为追赶法。
对称正定矩阵的乔列斯基分解，，下三角阵及其转置矩阵的乘积；用于求解的平方根法。
改进平方根法：利用矩阵的分解。
4.舍入误差对解的影响
向量范数定义：
常用的向量范数：
矩阵的范数：
常用的矩阵范数：
矩阵范数与向量范数的相容性：
影响：，其中，k值大，病态问题。
第三章：插值法
1.定义
给定n+1个互不相同的点，xi及在xi处的函数值yi(i=0～n)，构造一个次数不超过n次的多项式：，使满足。取。称为插值多项式，为插值节点，为被插函数。
插值问题具有唯一性。
2.Lagrange插值多项式
表达式：

误差估计式：

3.Newton插值多项式
差商：
表达式：
误差表达式：
差商的性质：
1)差商与节点的次序无关；
2)K阶差商对应K阶导数；
3)
4)
5)

4.埃尔米特（带导数）插值多项式
1)Newton法，给定f及f(k)为数字；

2)Lagrange法，给定f及f(k)为表达式。

5.三次样条插值函数
分段三次插值多项式的定义：S(x)在子区间[xi-1,xi]上是三次多项式，S(xi)=yi，s’’(x)在[a,b]上连续。
三次样条插值函数的导出：

第四章：函数最优逼近法
1.最优平方逼近
对于广义多项式：，其中线性无关。
要求：

若f(x)是表格函数，确定P(x)称为最小二乘拟合函数，当，P(x)为最小二乘多项式；若f(x)是连续函数，称P(x)为最优平方逼近函数。

2.函数的内积，范数定义及其性质
内积的定义：

性质：
范数的定义：
范数的性质：
正规方程组或法方程组：

3.正交多项式
正交函数系的定义：
代入正规方程组的系数矩阵，则：
几个正交多项式举例：
勒让德多项式

拉盖尔多项式

埃尔米特多项式

切比雪夫多项式

四种正交多项式均可用于高斯型求积公式；P多项式用于最优平方逼近，T多项式用于最优一致逼近。
正交多项式的性质：
正交多项式线性无关，推论：与正交。
在区间[a,b]或[min(xi),max(xi)]上，n次正交多项式gn(x)有n个不同的零点。
设是最高次项系数为1的正交多项式，则：

4.最优一致逼近法
(1)切比雪夫多项式的性质
性质1：是[-1,1]上关于的正交多项式，；
性质2：；
性质3：是最高次项为的k次多项式，只含x的偶次项，只含x的奇次项；
性质4：有k个不同的零点，；
性质5：在[-1,1]上，，且在k+1个极值点处依次取得最大值1和-1；
性质6：设Pn(x)是任意一个最高次项系数为1的n次多项式，则：
(2)最优一致逼近法的定义
设函数f(x)在区间[a,b]连续，若n次多项式使达到最小，则称为在[a,b]上的最优一致逼近函数。
切比雪夫定理：n次多项式P(x)成为函数y=f(x)在区间[a,b]上最优一致逼近多项式的充要条件是误差在区间[a,b]上以正负或负正交替的符号依次取得的点（偏差点）的个数不少于n+2。
采用如下方程组进行求解：

(3)近似最优一致逼近多项式
思路：

使用T多项式性质6
若区间是[-1,1]，取xi(i=0～n)为Tn+1的零点，则～，以此构造插值多项式Pn(x)；
若区间是[a,b]，通过转换；
方法1：由～，构造Pn(t)，然后将代入Pn(t)，可得Pn(x)。
方法2：取，i=0～n；构造Pn(x)。
例：

(4)截断切比雪夫级数法
设f(x)在[-1,1]上连续，，其中；记；
应用切比雪夫定理及性质5，取。
(5)缩短幂级数法

方法1：
方法2：

第五章：数值微积分
第一节牛顿柯特斯公式

一．数值算法
1.