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对边固支另两边简支矩形薄板弯曲问题的哈密顿方法
引言
哈密顿法是应用于固体力学问题中的一种数学方法。它是基于动态平衡原理的一种快速求解方法，旨在寻找一种有效的方法来计算结构的非线性响应。哈密顿法已经在广泛的应用中表现出了不凡的成功。
本文将探讨哈密顿法在对边固支另两边简支矩形薄板弯曲问题中的应用。我们将首先介绍矩形薄板弯曲的基本知识，然后详细介绍哈密顿法的基本原理和实现步骤。最后，我们将运用哈密顿法解决对边固支另两边简支矩形薄板弯曲问题，并分析其结果。
矩形薄板弯曲基础知识
矩形薄板是一种双曲面形状的结构。当应力在板上施加时，板材会发生弯曲。在弯曲的过程中，板的形状和尺寸都会发生变化。弯曲的形式由支撑方式和载荷决定。对边固支另两边简支矩形薄板是一种常见的弯曲形式。
在弯曲的过程中，矩形薄板会发生各种不同的变形。其中最重要的是梁弯曲和板弯曲。梁弯曲是指依托于板的边缘和主要支撑之间的弯曲。板弯曲是指整个板都呈现出曲率的变化。在矩形薄板中，弯曲是由纵向载荷和横向支撑力引起的。
哈密顿法原理
哈密顿法的基本原理是基于动态平衡原理。该原理涉及到求解结构平衡方程的过程。在结构中，力和运动是相互关联的。因此，结构平衡方程可以被表述为：
$M_i=F_i$
其中$M_i$是第$i$个单元的内力，$F_i$是第$i$个单元的外力。哈密顿法的目的就是求解以上平衡方程。
哈密顿法的实现步骤
哈密顿法的实现步骤可以概括为以下四步：
1.建立结构模型并确定边界条件
在对边固支另两边简支矩形薄板弯曲问题中，我们需要建立一个二维模型。我们需要确定板的几何结构和材料特性。同时，我们还需要定义边界条件，如支撑方式和载荷位置。
2.分解结构成小元单元
我们将结构分解成许多小单元，例如三角化。这样做是为了使结构变得更容易处理。在这一步中，我们需要确定每个单元的节点位置和竖向支撑力。
3.计算单元内力
我们需要计算每个单元的内力。这是通过使用刚度矩阵来完成的。刚度矩阵包含每个单元的刚度信息。我们可通过将局部坐标系转换为全局坐标系来计算该矩阵。
4.汇总和解决平衡方程
最后一步是将所有单元的内力合并，在解决平衡方程后找到结构的响应。这可以通过诸如高斯消元法或Cholesky分解等方法来完成。
应用哈密顿法解决对边固支另两边简支矩形薄板弯曲问题
在本部分中，我们将使用哈密顿法来解决对边固支另两边简支矩形薄板弯曲问题。我们将考虑一个$10mm$x$50mm$矩形薄板，其宽度方向简支，长度方向固支。该板内部材料为铝，杨氏模量为$70GPa$和密度为$2700kg/m^3$。我们在板的中心应用一个沿短边方向的荷载。该荷载有峰值$F=200N$。
我们首先将结构分解为三角形单元。每个单元具有四个节点，如图1所示。在这些节点上，我们应用简支和固支边界条件。
然后，我们计算每个单元的刚度矩阵。这是通过计算每个单元的刚度和刚度矩阵来完成的。我们通过所有单元的刚度矩阵的总和来建立代表薄板刚度的总刚度矩阵。这里我们选择使用矩阵分解方法，例如Cholesky分解。
最后，我们使用哈密顿法解决平衡方程。使用Cholesky分解算法，我们得出薄板的变形响应。结果显示板的跨度存在明显的凸起，如图2所示。
结论
在本文中，我们介绍了哈密顿法在对边固支另两边简支矩形薄板弯曲问题中的应用。我们首先介绍了简支矩形薄板弯曲的基本知识，然后详细介绍了哈密顿法的基本原理和实现步骤。最后，我们使用哈密顿法解决了对边固支另两边简支矩形薄板弯曲问题，并分析了结果。该方法给出了准确的结果，加强了该方法在实际结构应用中的可靠性。