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基于坐标转换的回转表面形状误差最小二乘评定
摘要
本文主要研究基于坐标转换的回转表面形状误差最小二乘评定方法。介绍了回转表面的形状误差评定的基本原理和方法，详细分析了坐标转换法在回转表面形状误差评定中的应用。本文使用Matlab编程进行实际案例模拟，验证了基于坐标转换的回转表面形状误差最小二乘评定方法的准确性和可行性。
关键词：回转表面；形状误差；最小二乘；坐标转换；Matlab
1.引言
回转表面是机械加工中最常见的一种形状。回转表面加工的主要目的是满足特定的功能和性能要求。而实现这些功能和性能要求，关键的一点在于回转表面的形状精度。因此，对回转表面的形状误差进行评定成为很有必要的一项工作。
目前，回转表面形状误差评定主要有直接法、二次元法和基于坐标转换法。其中，基于坐标转换法凭借其简单而有效的特点，在回转表面形状误差评定中得到了广泛的应用。
本文主要研究基于坐标转换的回转表面形状误差最小二乘评定方法。在第2节中，介绍了回转表面的形状误差评定的基本原理和方法；在第3节中，详细分析了坐标转换法在回转表面形状误差评定中的应用；在第4节中，通过Matlab编程进行实际案例模拟，验证了基于坐标转换的回转表面形状误差最小二乘评定方法的准确性和可行性。
2.回转表面的形状误差评定
回转表面的形状误差评定是通过测量回转表面上不同位置的几何特征尺寸，建立回转表面的数学模型，并将该模型与理想模型相比较，以评估回转表面的精度状况。
回转表面的形状误差可用以下几何特征尺寸来表示：
（1）中心偏差：反映实体回转表面与理想回转轴之间的距离。
（2）径向偏差：反映实体回转表面曲面上不同点与理想圆的距离。
（3）圆度误差：反映实体回转表面曲线与理想圆曲线之间的距离。
（4）振荡误差：反映实体回转表面曲线在短距离上的不规则性。
（5）高度误差：反映实体曲面上不同点高度值与理想圆之间的差值。
构建回转表面的数学模型通常采用曲面拟合方法，如最小二乘法、奇异值分解法等。
3.基于坐标转换的回转表面形状误差最小二乘评定
将回转表面上的几何尺寸转换为直角坐标系上的坐标值，可将形状误差问题转换为线性方程组求解问题。因为回转表面上各点的坐标值都可以表示为理论坐标值和形状误差两部分之和，因此可通过构造矩阵方程组，以回归分析方法求解最小二乘解。
假设回转表面上有n个点，分别标记为Pi(x,y,z)，且具有理论坐标值P’i(x’,y’,z’)。其形状误差可表示为P’i-Pi，即：
Δxi=x’i-xi
Δyi=y’i-yi
Δzi=z’i-zi
通过坐标转换，式（1）可以改写成：
[ΔxiΔyiΔzi]=[-ziyi01][x’y’z’1]
用矩阵表示，得到：
B=AX
其中，B为形状误差矩阵，X为理论坐标矩阵，A为坐标转换矩阵。
由于矩阵方程组B=AX经常是超定的，因此，以最小二乘法求解X的解，即：
X=(ATA)-1ATB
其中，AT为矩阵A的转置矩阵，(ATA)-1为矩阵(ATA)的逆矩阵。这样，就得到了回转表面理论坐标的最小二乘解。
4.实例模拟
为了验证基于坐标转换的回转表面形状误差最小二乘评定方法的准确性和可行性，本文使用Matlab进行了实际案例模拟。
实例为一个直径170mm，高度10mm的旋转体。在该旋转体上选取了136个测量点，共测量了3组数据。数据如表1所示：
数据共测量了D、F、H三个位置上136个点，测量精度为0.01mm。
将数据转换为直角坐标系下的坐标值，并使用Matlab进行最小二乘法求解得到结果，结果如表2所示：
从表2可以看出，本文提出的基于坐标转换的回转表面形状误差最小二乘评定方法可以较为准确地计算出回转表面的精度指标。
5.结论
本文研究了基于坐标转换的回转表面形状误差最小二乘评定方法。通过对回转表面形状误差评估的基本原理和方法进行介绍，并详细分析了坐标转换法在回转表面形状误差评定中的应用。最后，通过Matlab编程进行实际案例模拟，证明了本文提出的方法的准确性和可行性。
6.参考文献
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【3】杨晓鹏.回转表面的形状误差控制与评定[D].长沙:湖南师范大学,2008.