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基于Curvelet变换的图像压缩感知重构
一、引言
随着科技的不断发展，数字图像的applications越来越广泛，包括数字广播、数字医学图像、网络视频等。面对海量的图像数据，如何快速高效地存储和传输这些数据已经成为一个不小的challenge。传统的图像压缩技术可以大大减小存储和传输的开销，但它们通常使用的是固定的局部基(如DCT)进行压缩，不够灵活，处理复杂图像时存在一些问题。最近，一种叫做压缩感知技术(codedapertureimaging技术)的新型压缩技术引起了越来越多的研究兴趣。该技术使用未知方向的随机测量矩阵对图像进行采样压缩，然后使用稀疏表示的方式恢复原始图像。它可以不用事先知道待压缩图像的具体分布特点，仍然保持压缩质量高的优点。
本文介绍了基于Curvelet变换的图像压缩感知重构算法。Curvelet变换是一种多尺度分析技术，它在处理多方向图案和曲线时具有很强的适应性，特别适用于工程和科学领域，如地震勘探和医学成像。Curvelet变换在图像压缩感知中的应用可以通过增强图像稀疏性，达到更好的压缩效果。在本文中，我们将介绍Curvelet变换的基本原理和压缩感知算法的整体框架，并实验验证了该算法在图像压缩方面的效果。
二、Curvelet变换的基本原理
Curvelet变换是一种新的多尺度分析方法，它基于小波分析、傅里叶变换和曲线拟合等技术，将信号分解成不同尺度和不同方向的子带。在Curvelet变换中，采用双光锥坐标系，一维小波变换处理尺度，曲线拟合处理角度(即方向)，构造Curvelet块完成具体的变换。
Curvelet变换的具体实现涉及到两个主要算法：Curvelet迭代算法和Curvelet包分解算法。其中，Curvelet迭代算法用于计算制表过程。它首先将全频段的数据通过小波分解，对得到的小波系数再分解成嵌套的频带，然后将频带进一步通过Radon变换分为不同的角度。最后，通过最大化方差的方式来确定选取最大像素点作为Curvelet块的位置和方向，产生最终的Curvelet系数。然后，Curvelet包分解算法利用已生成的Curvelet系数，获得稀疏曲线上的数据。
三、图像压缩感知的基本思想
在压缩感知领域，最基础的想法是对信号进行稀疏表示，从而压缩信号而不损失精度。如果一个信号在某个基的基础上是稀疏的话，在新的基上依然保持相对稀疏性，只是需要更多的系数来描述。根据这个想法，我们可以用稀疏表示的方式表示原始信号，进一步实现高效压缩。
压缩感知的过程可以分为三步：输入，随机测量和恢复。输入指的是原始数据(如图像、音频等)的采集，随机测量使用随机矩阵对输入信号进行采样，这里的随机采样指的是将输入信号投影到低维空间下，这使得压缩后的数据量减少了很多，随机测量过程实际上是储存和传输信号时，一种降低数据量的方法。恢复指的是在稀疏表示框架的帮助下，重新还原出原始信号。
四、基于Curvelet的图像压缩感知重构算法
1.算法流程图
本文所提出的基于Curvelet的图像压缩感知重构算法的流程如下：
输入图像：输入图像通过Curvelet变换分解为若干子带，子带系数在Curvelet域中是极度稀疏的。
随机测量：将分解得到的稀疏子带系数投影到随机测量矩阵中，并记录下每个子带的测量值。
恢复：使用压缩感知领域的经典算法(如OMP、BP、CoSaMP等)对约束稀疏模型进行解析，从而得到原始图像的近似。
输出图像：输出图像通过逆Curvelet变换来恢复所压缩的图像。
2.算法实现
基于Curvelet的图像压缩感知重构算法包括两部分：Curvelet变换和压缩感知恢复。具体实现流程如下：
1)对输入图像进行Curvelet分解，得到系数矩阵;
2)使用随机矩阵对矩阵进行测量，得到投影向量矩阵;
3)将投影向量矩阵通过OMP等恢复算法进行解析，得到稀疏系数矩阵;
4)利用解析得到的系数矩阵进行Curvelet域的重构，得到近似图像。
下面是Curvelet分解和稀疏表示的详细实现：
1)Curvelet分解
Curvelet分解系数矩阵计算具体实现步骤：
1.分别对输入的图像进行域分解或域分解，因为Curvelet系数展现更适合与域分解相结合。
2.进行小波分解，分解得到的系数再分解成嵌套的频带;
3.通过Radon变换将频带分为不同角度;
4.最大的拉曼方差方法实现曲线块的搜索，从而确定Curvelet块的位置和方向，最后通过Curvelet块确定生成Curvelet系数矩阵。
2)稀疏表示
稀疏表示的计算具体实现步骤：
1.利用所生成的Curvelet系数对图像进行稀疏表示，充分利用Curvelet系数在Curvelet空间内的稀疏性。
2.利用OMP等经典算法，找到稀疏系数矩阵，从而计算原始图像的近似。