2019—2019学年度第一学期半期自测试题.doc

2019—2019学年度第一学期半期自测试题
九年级数学
（满分160分，120分钟完卷）
A卷（共100分）
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1.化简的结果是（）
A．3B．C．D．9
2.下列代数式能作为二次根式被开方数的是（）
A．B．C．D．
3.已知关于的一元二次方程，下列说法正确的是（）
A．方程有两个相等的实数根B．没有实数根
C．方程有两个不相等的实数根D．无法确定
4.计算的结果是（）
A．4B．3C．D．
5.在比例尺是1：40000的地图上，若某条道路长约为，则它的实际长度约为（）
A．0.2B．2C．20D．200
6.若矩形的长和宽是方程的两根，则矩形的对角线长度为（）
A．5B．7C．8D．10
7.如果是一个完全平方式，那么的值是（）
A．2B．C．D．
8.若是方程的一个根，则的值是（）
A．1B．C．D．
9.已知，则的值为（）
A．1B．C．D．
10.如图，有一张矩形纸片，长10，宽6，在它的四角各剪去一个同样的小正方形，然后折叠成一个无盖的长方体纸盒．若纸盒的底面（图中阴影部分）面积是32，求剪去的小正方形的边长．设剪去的小正方形边长是，根据题意可列方程为（）
A．B．
C．D．
11.定义：如果一元二次方程（≠0）的系数满足，那么我们称这个方程为“蝴蝶”方程．已知关于的方程（≠0）是“蝴蝶”方程，且有两个相等的实数根，则下列结论中正确的是（）
A．B．C．D．
12.欧几里得的《原本》记载，形如的方程的图解法是：画Rt△ABC，使∠ACB=90°，BC=，AC=，再在斜边AB上截取BD=．则该方程的一个正根是（）
A．AC的长B．AD的长C．BC的长D．CD的长
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请将最后答案直接写在答题卷的相应题中的横线上．）
13．若，则．
14．关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值是．
15.若，则____.
16.对于任意实数、，定义：◆．若方程◆的两根记为、，则.
三、解答题(本大题共5小题，共44分)
17.（9分）计算下列各题：
（1）；
（2）；
（3）.
18.（9分）用指定的方法解下列一元二次方程：
（1）（公式法）；
（2）（因式分解法）；
（3）（配方法）
19.（8分）已知线段，，．
（1）求线段与线段的比．
（2）如果线段、、、成比例，求线段的长．
（3）是和的比例中项吗？为什么？
20.（9分）某公司2019年1月份的生产成本是400万元，由于改进技术，生产成本逐月下降，3月份的生产成本是361万元．假设该公司2、3、4月每个月生产成本的下降率都相同．
（1）求每个月生产成本的下降率；
（2）请你预测4月份该公司的生产成本．
21.（9分）已知关于的一元二次方程．
（1）若该方程有两个实数根，求的最小整数值；
（2）若方程的两个实数根为，，且，求的值．
B卷（共60分）
四、填空题（本大题共4小题，每小题6分，共24分．请将最后答案直接写在答题卷的相应题中的横线上．）
22．如果，那么．
23．如果恰好只有一个实数是方程的根，则___．
24．若、、是实数，且，，那么的值为_______．
25．已知：关于的方程的两根分别是，则的最小值是．
五、解答题（本大题共3小题，每小题12分，共36分．解答时必须写出必要的文字说明、证明过程或推演步骤）
26．能力拓展：
（1）请观察，，的规律，按照规律完成填空；
（2）请比较下列代数式的大小：
①和；②和；
（3）请直接写出与的大小关系．
27．如图，四边形ACDE是证明勾股定理时用到的一个图形，、、是Rt△ABC和Rt△BED的边长，易知，这时我们把关于的方程称为“勾系一元二次方程”．请解决下列问题：
（1）写出一个“勾系一元二次方程”；
（2）求证：关于的“勾系一元二次方程”必有实数根；
（3）若是“勾系一元二次方程”的一个根，且四边形ACDE的周长是，求△ABC的面积．
28.我们在解决数学问题时，经常采用“转化”（或“化归”）的思想方法，即把待解决的问题，通过转化归结到一类已解决或比较容易解决的问题．譬如，求解一元二次方程，通常把它转化为两个一元一次方程来解；求解分式方程，通常把它转化为整式方程来解，只是因为分式方程“去分母”时可能产生增根，所以解分式方程必须检验．
请你运用上述把“未知”转化为“已知”的数学思想，解决下列问题．
（1）解方程：；
（2）解方程：；
（3）如图，已知矩形草坪ABCD的长AD=8，宽AB=3，小华把一根长为10的绳子的一端固定在点B，沿草坪边沿BA、AD走到点P处，把长绳PB段拉直并固定在点P，然后沿草坪边沿PD、DC走到点C处，把长绳剩下的一段拉直，长绳的另一端