例谈圆锥曲线定义在解题中的应用.docx

例谈圆锥曲线定义在解题中的应用圆锥曲线的定义反映了圆锥曲线的本质属性也是建立各自方程的依据.然而在教学中发现学生往往过多依赖方程而忽略定义在解题中的灵活应用.事实上圆锥曲线的定义对于很多数学问题具有明显的导向作用利用定义解题是解决有关问题的重要策略.以下举例说明圆锥曲线定义在解题中的应用.一、定义法求动点轨迹方程例1已知A-70B70C2-12椭圆过AB两点且以C为其一个焦点求椭圆另一焦点的轨迹方程.解析：设椭圆的另一焦点Fxy）由题意得|AC|+|AF|=|BC|+|BF|所以|AF|-|BF|=|BC|-|AC|.而|BC|=13|AC|=15于是|FB|-|FA|=2根据双曲线定义可知F在以AB为焦点的双曲线的左支上.这里2a=2所以a=1又c=7所以b2=c2-a2=48故椭圆的另一焦点F的轨迹方程为x2-y2/48=1（x点评：本题首先根据椭圆的定义A、B是椭圆上的点得出等式|FB|-|FA|=2.这样根据定义先判断出动点F轨迹的类型再用待定系数法求出轨迹方程.二、利用定义解决圆锥曲线的简单几何性质例2已知椭圆x2a2+y2b2=1（a>b>0）的左、右焦点分别为F1（-c0）F2（c0）若椭圆上存在点P使asin∠PF1F2=csin∠PF2F1则该椭圆的离心率的取值范围为.点评：椭圆和双曲线中但凡涉及到曲线上的点到焦点的距离通常要联系定义解题.变式训练2：已知点P在双曲线x2a2-y2b2=1（a>0b>0）的右支上双曲线两焦点为F1、F2|PF1|2|PF2|最小值是8a求双曲线离心率的取值范围.三、利用定义求最值例3已知点P是抛物线y2=4x上的动点点P在y轴上的射影是M点A的坐标是4a则当|a|>4时|PA|+|PM|的最小值是.解析：抛物线焦点F10设点P到准线：x=-1的距离为d由抛物线的定义d=|PF|.点评：抛物线上的点到其焦点的距离和到准线距离相等利用抛物线定义将二者互化是解决抛物线中最值问题的重要策略.这里根据题意将抛物线上的点到准线的距离转化为该点到焦点的距离从而构造出两点间线段最短使问题迎刃而解.变式训练3：已知点P是抛物线y2=4x上的动点F为其焦点若B（32）|PB|+|PF|的最小值是答案：4总之有关圆锥曲线的问题往往运算量大求解过程比较复杂但若能正确、灵活地运用圆锥曲线的相关定义去分析解题往往会使问题化繁为简提高解题思路的精确率.[湖北省十堰市第一中学（442000）]