例析数形结合思想在高考中的应用.docx

例析数形结合思想在高考中的应用数形结合思想是数学重要思想方法之一也是高考常考的一种思想方法.“数形结合”是将抽象的数学语言与直观的图形语言有机地结合起来使要解决的数学问题化难为易化抽象为直观.在教学中应注重培养学生具有应用这种思想方法来解决数学问题的意识和能力.以下例析数形结合思想在高考中的应用.一、在函数中的应用例1（2011年陕西理科卷）函数f（x）=x―cosx在[0+∞）内A.没有零点B.有且仅有一个零点C.有且仅有两个零点D.有无穷多个零点解析在同一直角坐标系中分别作出函数y=x和y=cosx的图象如图1所示当x>1时y=x>1y=cosx评注本题运用数形结合的思想来解决函数的问题可以通过分别画出两个函数的图象y=x和y=cosx结合图象再研究函数的零点与方程的根的关系.二、在向量中的应用例2（2011年大纲全国理科卷）设向量abc满足|a|=|b|=1a・b=―12〈a―cb―c〉=60°则|c|的最大值等于A.2B.3C.2D.1解析如图2设OA=aOB=bOC=c则CA=a―cCB=b―c.因为|a|=|b|=1所以|OA|=|OB|=1.所以|a||b|cos∠AOB=―12所以∠AOB=120°.又因为〈a―cb―c〉=60°而120°+60°=180°所以O、A、C、B四点共圆.所以当OC为圆的直径时|c|最大此时∠OAC=∠OBC=90°所以RtAOC=RtBOC所以∠ACO=∠BCO=30°所以|OA|=12|OC|所以|OC|=2|OA|=2.所以答案选A.评注本题运用数形结合的思想解决平面向量的问题可借助向量的图形来研究平面向量的数量积运算、向量加减法和四点共圆的条件.三、在三角函数中的应用例3（2011年江苏卷）函数f（x）=Asin（ωx+φ）（Aωφ是常数A>0ω>0）的部分图象如图3所示则f（0）的值是.解析由图可知A=2T4=7π12―π3=π4所以T=πω=2πT=2ππ=2.当x=7π12时y取得最小值即2×7π12+φ=2kπ+3π2取k=0得φ=π3.所以f（x）=2sin（2x+π3）从而f（0）=2sinπ3=62.所以答案填62.评注本题运用数形结合的思想求正弦函数的解析式可以利用正弦函数的图象和性质将解析式f（x）=Asin（ωx+φ）中参数分别求解出来.四、在线性规划中的应用例4（2011年山东文科卷）设变量xy满足约束条件x+2y―5≤0x―y―2≤0x≥0则目标函数z=2x+3y+1的最大值为A.11B.10C.9D.8.5解析作出如图4所示不等式组表示的可行域因为z=2x+3y+1可化为y=―23x+z3―13结合图形可知z=2x+3y+1在点A处取得最大值.由x+2y―5=0x―y―2=0得x=3y=1.故A（31）此时z=2×3+3×1+1=10所以答案选B.评注本题运用数形结合的思想解决线性规划中的最优解问题可以先作出可行域再结合图形找出取最优解时的点.五、在解析几何中的应用例5（2011年课标全国卷）如图5在平面直角坐标系xOy中椭圆C的中心为原点焦点F1F2在x轴上离心率为22.过F1的直线交C于两点AB且ABF2的周长为16那么C的方程为.解析设椭圆方程为x2a2+y2b2=1由于e=22即ca=22所以b2a2=a2―c2a2=1―12=12.由于ABF2的周长为|AB|+|BF2|+|AF2|=|AF1|+|AF2|+|BF1|+|BF2|=4a=16故a=4b2=8.所以椭圆的方程为x216+y28=1.答案填x216+y28=1.评注本题运用数形结合思想解决解析几何问题可结合椭圆的图形运用椭圆的离心率和椭圆的定义来解决问题.六、在正态分布中的应用例6（2011年湖北理科卷）已知随机变量ξ服从正态分布N（2σ2）且P（ξA.0.6B.0.4C.0.3D.0.2解析正态分布的密度函数的图象如图6所示函数关于直线x=2对称所以P（ξ