北京市大兴区2013届高三数学一模试题 理（大兴一模，含解析）新人教B版.doc

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大兴区2013年高三统一练习
数学（理科）
一、选择题
（1）复数的值是
（A）2（B）（C）（D）
【答案】D
【解析】，选D.
（2）若集合，，则
(A) (B)
(C) (D)
【答案】C
【解析】，,所以,选C.

（3）执行如图所示的程序框图．若，则输出的值是是
否
结束
开始
s=1,i=1

输入n
输出s
?

（A）-21（B）11
（C）43（D）86
【答案】A
【解析】第一次循环，；第二次循环，；
第三次循环，；第四次循环，，第五次循环，，此时不满足条件，输出，所以选A.
(4)双曲线的实轴长是虚轴长的2倍,则m等于
（A）（B）
（C）（D）
【答案】D
【解析】双曲线的标准方程为，所以，且，因为，所以，，即，解得，选D.
(5)已知平面，直线，下列命题中不正确的是
（A）若，，则∥
（B）若∥，，则
（C）若∥，，则∥
（D）若，，则．
【答案】C
【解析】C中，当∥时，只和过平面与的交线平行，所以不正确。
(6)函数
（A）在上递增（B）在上递增，在上递减
（C）在上递减（D）在上递减，在上递增

【答案】D
【解析】因为，当时，。当时，，即当时，函数递增。当时，函数递减，选D.
（7）若实数满足，则关于的方程有实数根的概率是
（A）（B）
（C）（D）
【答案】C
【解析】要使方程有实根，则判别式，即，,如图，阴影部分。所以三角形OAB的面积为，所以阴影部分的面积为，所以由几何概率公式可得所求概率为，选C.
（8）抛物线绕轴旋转一周形成一个如图所示的旋转体，在此旋转体内水平放入一个正方体，使正方体的一个面恰好与旋转体的开口面平齐，则此正方体的体积是
（A）1（B）8
（C）（D）
【答案】B
【解析】，做出轴截面，设正方体的边长为，则，为面的对角线，所以，所以，代入得。所以，即，解得，所以正方体的体积为。选B.
二、填空题
（9）函数的最大值是。
【答案】
【解析】,所以函数的最大值为。
（10）已知直线与曲线有且仅有一个公共点，则
【答案】
【解析】曲线的直角坐标方程为。圆心为，半径为2，所以圆心到直线的距离，解得。
(11)已知矩形ABCD中，，，E、F分别是BC、CD的中点，
则等于．
【答案】
【解析】将矩形放入直角坐标系中，，则，所以,所以，所以.
（12）设，则。
【答案】
【解析】的展开式的通项公式为，所以的系数为，即。
13.如图，在圆O中，直径AB与弦CD垂直，垂足为E（E在A,O之间），,垂足为F．若，，则。
【答案】
【解析】在直角三角形中，，所以，因为，所以半径为3，所以，所以.
14.已知函数，定义
,，(,)．把满足（）的x的个数称为函数的“周期点”．则的周期点是；周期点是．
【答案】，
【解析】当时，，解得。当时，，解得。所以的“周期点”的个数为2.
当时，，，解得。当时，，，解得。
当时，，解得。当时，，，解得。所以的“周期点”为个.
依次类推，的“周期点”的个数为个。
三、解答题
(15)（本小题满分13分）
在中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,，，．
(Ⅰ)求a的值；
(Ⅱ)求及的面积．
(16)（本小题满分13分）
期末考试结束后，随机抽查了某校高三(1)班5名同学的数学与物理成绩，如下表：
学生数学8991939597物理8789899293（1）分别求这5名同学数学与物理成绩的平均分与方差，并估计该班数学与物理成绩那科更稳定。
从4名数学成绩在90分以上的同学中选2人参加一项活动，以X表示选中同学的物理成绩高于90分的人数，求随机变量X的分布列及数学期望E(X)的值．
(17)（本小题满分13分）
如图，直三棱柱ABC—A1B1C1中，是等边三角形，D是BC的中点．
（Ⅰ）求证：A1B//平面ADC1；
（Ⅱ）若AB=BB1=2，求A1D与平面AC1D所成角的正弦值．

(18)（本小题满分14分）
已知函数，．
(Ⅰ)求函数的单调区间；
(Ⅱ)函数在区间上是否存在最小值，若存在，求出最小值，若不存在，请说明理由．
19.（本小题满分14分）
已知动点P到点A（-2,0）与点B（2,0）的斜率之积为，点P的轨迹为曲线C。
(Ⅰ)求曲线C的方程；
(Ⅱ)若点Q为曲线C上的一点，直线AQ，BQ与直线x=4分别交于M、N两点，直线BM与椭圆的交点为D。求证，A、D、N三点共线。
(20)（本小题满分13分）
已知数列的各项均为正整数，且，
设集合。
性质1若对于，存在唯一一组（）使成立，则称数列为完备数列，当k取最大值时称数列为k阶完备数列。
性质2若记，且对于任意，，都有成立，则称数列为完整数列，当k取最大值时称数列为k阶完整数列。
性质3若数列同时具有性质1及性质2，则称此数列为完美数列，当取最大值时称为阶