高三数学高考一轮复习专题：基本初等函数.doc

用心爱心专心

基本初等函数
一．课标要求
1．指数函数
（1）通过具体实例（如细胞的分裂，考古中所用的14C的衰减，药物在人体内残留量的变化等），了解指数函数模型的实际背景；
（2）理解有理指数幂的含义，通过具体实例了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算。
（3）理解指数函数的概念和意义，能借助计算器或计算机画出具体指数函数的图象，探索并理解指数函数的单调性与特殊点；
（4）在解决简单实际问题的过程中，体会指数函数是一类重要的函数模型。
2．对数函数
（1）理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数；通过阅读材料，了解对数的发现历史以及对简化运算的作用；
（2）通过具体实例，直观了解对数函数模型所刻画的数量关系，初步理解对数函数的概念，体会对数函数是一类重要的函数模型；能借助计算器或计算机画出具体对数函数的图象，探索并了解对数函数的单调性与特殊点；
3．知道指数函数与对数函数互为反函数（a＞0，a≠1）。
二．命题走向
指数函数、对数函数、幂函数是三类常见的重要函数，在历年的高考题中都占据着重要的地位。从近几年的高考形势来看，对指数函数、对数函数、幂函数的考查，大多以基本函数的性质为依托，结合运算推理，能运用它们的性质解决具体问题。为此，我们要熟练掌握指数、对数运算法则，明确算理，能对常见的指数型函数、对数型函数进行变形处理。
三．要点精讲
1．指数与对数运算
（1）根式的概念：
①定义：若一个数的次方等于，则这个数称的次方根。即若，则称的次方根，
1）当为奇数时，次方根记作；
2）当为偶数时，负数没有次方根，而正数有两个次方根且互为相反数，记作。
②性质：1）；2）当为奇数时，；
3）当为偶数时，。
（2）．幂的有关概念
①规定：1）N*；2）；
n个
3）Q，4）、N*且。
②性质：1）、Q）；
2）、Q）；
3）Q）。
（注）上述性质对r、R均适用。
（3）．对数的概念
①定义：如果的b次幂等于N，就是，那么数称以为底N的对数，记作其中称对数的底，N称真数。
1）以10为底的对数称常用对数，记作；
2）以无理数为底的对数称自然对数，，记作；
②基本性质：
1）真数N为正数（负数和零无对数）；2）；
3）；4）对数恒等式：。
③运算性质：如果则
1）；
2）；
3）R）。
④换底公式：
1）；2）。
2．指数函数与对数函数
（1）指数函数：
①定义：函数称指数函数，
1）函数的定义域为R；2）函数的值域为；
3）当时函数为减函数，当时函数为增函数。

②函数图像：

1）指数函数的图象都经过点（0，1），且图象都在第一、二象限；
2）指数函数都以轴为渐近线（当时，图象向左无限接近轴，当时，图象向右无限接近轴）；
3）对于相同的，函数的图象关于轴对称。
①，
②，
③①，
②，
③，
③函数值的变化特征：

（2）对数函数：
①定义：函数称对数函数，
1）函数的定义域为；2）函数的值域为R；
3）当时函数为减函数，当时函数为增函数；
4）对数函数与指数函数互为反函数。
②函数图像：

1）对数函数的图象都经过点（0，1），且图象都在第一、四象限；
2）对数函数都以轴为渐近线（当时，图象向上无限接近轴；当时，图象向下无限接近轴）；
4）对于相同的，函数的图象关于轴对称。
③函数值的变化特征：
①，
②，
③.①，
②，
③.

四．典例解析
题型1：指数运算
例1．（1）计算：；
（2）化简：。
解：（1）原式=
；
（2）原式=
。
点评：根式的化简求值问题就是将根式化成分数指数幂的形式，然后利用分数指数幂的运算性质求解，对化简求值的结果，一般用分数指数幂的形式保留；一般的进行指数幂运算时，化负指数为正指数，化根式为分数指数幂，化小数为分数运算，同时兼顾运算的顺序。
例2．已知，求的值。
解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴。
点评：本题直接代入条件求解繁琐，故应先化简变形，创造条件简化运算。
题型2：对数运算
例3．计算
（1）；（2）；
（3）。
解：（1）原式
；
（2）原式
；
（3）分子=；
分母=；
原式=。
点评：这是一组很基本的对数运算的练习题，虽然在考试中这些运算要求并不高，但是数式运算是学习数学的基本功，通过这样的运算练习熟练掌握运算公式、法则，以及学习数式变换的各种技巧。
例4．设、、为正数，且满足
（1）求证：；
（2）若，，求、、的值。
证明：（1）左边
；
解：（2）由得，
∴……………①
由得………………………②
由①②得……………………………………③
由①得，代入得，
∵，∴………………………………④
由③、④解得，，从而。
点评：对于含对数因式的证明和求值问题，还是以对