高三数学第一轮复习：导数的定义及应用（文）人教实验A版知识精讲.doc

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高三数学第一轮复习：导数的定义及应用（文）人教实验A版

【本讲教育信息】
一.教学内容：
导数的定义及应用

二.重点、难点：
1.导数公式：

2.运算公式

3.切线，过P（）为切点的的切线，
4.单调区间
不等式，解为的增区间，解为的减区间。
5.极值
（1）时，，时，
∴为极大值
（2）时，时，
∴为的极小值。

【典型例题】
[例1]求下列函数的导数
（1）
（2）
（3）
解：（1）∴
（2）
（3）

[例2]若曲线在点P处的切线平行于直线，则P点坐标为。
解：，令∴
∴∴P（1，0）

[例3]如果函数的图象在处的切线过点（0，）并且与圆C：相离，则点（）与圆C的位置关系。
解：∴切
过（0，）∴∴
与圆相离，
∴∴∴点（）在圆内

[例4]，则=。
解：令，
∴∴∴

[例5]函数在上可导，且，则时有（）
A. B.
C. D.
解：令∴
∴∴
∴任取∴
即故选C

[例6]分别为定义在R上的奇函数、偶函数。
时，，则不等式的解为。
解：令∴
∴
奇，偶奇函数∵∴
∴解为

[例7]如图，为的大致图象，则。

解：

[例8]求导数的极值。
解：
列表

[例9]已知函数在处取得极值2。
（1）求的解析式；
（2）满足什么条件时，区间（）为函数增区间；
（3）若P（）为图象上任一点，与切于点P求的倾斜角的正切值的取值范围。
解：
∴
∴
列表∴（－1，1）↑（1，+∞）↓

令

∴

[例10]的图象均过P（2，0）且在P点处有相同的切线。（1）求；（2）设，求的单调区间。
解：过P（2，0）

∴

[例11]在[0，1]↓[1，2]↑。
（1）求；（2），若集合中恰有三个元素，求的范围。
解：
即
∴

[例12]
（1）在x=1，x=3处取得极值，求；
（2）在，且，求证：
（3）在（2）的条件下，比较与大小关系。
解：（1）

∴
（2）

∴
（3）

*
∵∴∴*式∴

【模拟试题】（答题时间：20分钟）
1.若函数的导函数为，则函数的单调递减区间是（）
A.B.C.D.
2.已知函数在区间上是减函数，那么（）
A.有最大值B.有最大值C.有最小值D.有最小值
3.下面四图都是同一坐标系中某三次函数及其导函数的图象，其中一定不正确的序号是（）
A.①②B.①③C.②③D.③④

4.已知，过点A（1，m）（）可作曲线的三条切线，则m的取值范围是（）
A.（－1，1）B.（－2，3）C.（－1，2）D.（－3，－2）
5.已知，记，（），则；。
6.过点A（2，－2）作曲线的切线，则切线方程为。
7.已知函数
（1）若函数在（，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，求实数的值；
（2）求证：当时，在（－2，）上单调递减。
8.已知函数的图象在点P（1，0）处的切线与直线平行。
求的值
求函数的单调区间
求函数在区间上的最小值和最大值
9.函数（为常数且，）取极小值时，求的值。
10.设（为自然对数的底，为常数且），取极小值时，求的值。
11.已知函数（）的图象关于原点对称，且当时，取得极值。
（1）求的值；
（2）若点A（），B（）是函数图象上任意两点，且。求证：过A点的切线不可能与过B点的切线垂直；
（3）若，且，求证：。
12.已知函数
（1）点P（）（0）在曲线上，求曲线在点P处的切线与轴和y轴的正半轴所围成的三角形面积（用表示）；
（2）证明：当，且时，。
13.已知函数
（1）点P在曲线上，若点P的横坐标是，求曲线在点P处的切线与轴和y轴的正半轴所围成的三角形面积；
（2）证明：当，且时，。

试题答案
1.C2.B3.D4.D5.；06.或
7.解：（1）
∵在上单调递减，在（1，+∞）上单调递增
∴即
（2）要使在（－2，）上单调递减，则对，总有<0
∵∴当时，即
在上的最大值为或
∵当时，
∴对，总有
∴当时，在（－2，）上单调递减
8.解：（1）∵P（1，0）在的图像上，∴
又∴∴
（2），由，得或
∴分别在（－∞，0）和（2，+∞）上是增函数，在[0，2]上是减函数
（3）若，在区间（）上是减函数
当时，；当时，
若，在区间[0，2]上是减函数，在上是增函数，且
∴当时，
当时，
若在区间[0，2]上是减函数，在上是增函数且
∴当时，；当时，
9.解：
（1）当时，时，时，
∴无极小值
（2）当时，令或－1由表

∴时，取极小值，综上，当时，时，取极小值；当时，无极小值
10.解：
令或2
（1）当即，由表

∴时，取极小值
（2）当即时，无极值。
（3）当即时，由表

∴时，取极小值
综上，当时，时，取极小值
当时，时，取极小值
当时，无极小值
11.（1）∵函数图象关于原点对称，∴