高二数学椭圆（理）人教实验A版（理）.doc

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高二数学椭圆（理）人教实验A版（理）
【本讲教育信息】
一.教学内容：
椭圆

二.重点、难点：
1.定义：（其中P为椭圆上一点，焦点）
2.椭圆的标准方程：

3.椭圆的性质

（1）
（2）轴为椭圆对称轴，原点为对称中心
（3）顶点（）（）
（4）离心率
4.直线与椭圆的位置关系

椭圆M：
代入：※
研究※式的判别式
（1） 无交点
（2） 一个交点（相切）
（3） 两个不同的交点
弦长（为的斜率，为※式的根）
5.椭圆的参数方程（为参数）
6.椭圆的第二定义
到F（）的距离和到直线的距离之比为常数的点的轨迹为。
7.焦半径P（）在椭圆上，为焦点

【典型例题】
[例1]求满足下面条件的椭圆的方程。
（1）求焦点为，，离心率的椭圆。
解：∴
（2）求中心在原点，两准线间距离为5，焦距为4的椭圆方程。
解：∴
∴或
（3）求中心在原点、焦点在轴，椭圆上点M到左焦点距离为20的椭圆方程。
解：

∴
∴
（4）椭圆中心在坐标原点，焦点在轴，直线与椭圆交于M、N若且求椭圆方程。
解：设椭圆当交

即：
∴

∴①
②
由①②（舍）∴

[例2]直线与椭圆的交点的个数，并求最大弦长。
解：

（1）时只有一个交点
（2）没有交点
（3）时有两个交点A、B

（）时

[例3]已知椭圆，在椭圆内求M为中点的椭圆的弦AB的直线方程。
解：设，∴
∴
相减
∴
∴：
∴

[例4]P椭圆一点（不在轴上）F1F2为焦点，求。
解：

相减
∴

[例5]椭圆的长轴的两端点为A、B。若椭圆上存在一点P使，求椭圆离心率的取值范围。
解：在短轴顶点取得最大值
∴
∴∴
为椭圆上一点

只研究第一象限，随变大，为负且变大∴变大

[例6]椭圆上任意一条不垂直对称轴的弦A、B，D为AB中点，求证为定值。
设

∴为定值

[例7]已知P为椭圆（）上异于顶点的任一点，为短轴端点，，交轴于、，求证为定值。
设
三点共线
三点共线

[例8]过椭圆的右焦点F作直线交椭圆于A、B，O为原点，求的最大值及相应的方程。
（1）轴：
（2）轴：

∴：

[例9]已知椭圆内部一点A（4，）过A作弦PQ，使A恰为PQ中点，M为椭圆上任一点，求的最大值。
解：
中点弦公式∴：
设M（，）

∴
∴

[例10]椭圆上有不同三点A（，）B（4，）C（，）与焦点F（4，0）的距离成等差数列。
（1）求证：
（2）若AC的垂直平分线与轴交于T，求
解：
A、B、C到右准线成等差数列∴
∴∴AC中点（4，）AC中垂线：

令∴T（，0）
∵A、C在椭圆上∴∴T（，0）
∴

[例11]椭圆C：，定点A（，2）F为左焦点，P为椭圆上一点，求
的最小值。

解：
∴
∴P（）

【模拟试题】（答题时间：30分钟）
1.椭圆上有一点P到左准线的距离为，则P到椭圆右焦点的距离为（）
A.8B.C.D.
2.若方程表示焦点在轴上的椭圆，则a的取值范围是（）
A.B.
C.D.
3.若方程表示椭圆，则的取值范围是（）
A.
B.
C.
D.以上皆不正确
4.若直线与椭圆恒有公共点，则的取值范围是。
5.交椭圆于M、N，MN中点为P若（为原点）则。
6.椭圆：交直线：于A、B，则。
7.求以椭圆的长轴端点为短轴端点，且过点的椭圆标准方程。
8.求椭圆共焦点的且过的椭圆方程。
9.椭圆，设点到该椭圆上所有点的最远距离为，求椭圆方程及最远点坐标。

试题答案
1.A2.D3.D4.
5.6.1.2
7.代入
∴
8.∴
9.∵
∴为椭圆上一点

①时，时不合题意
②时，时
∴∴最远点，