高三数学直线与圆的位置关系（理）人教实验版（A）知识精讲.doc

用心爱心专心

高三数学直线与圆的位置关系（理）人教实验版（A）
【本讲教育信息】
一.教学内容：
直线与圆的位置关系

二.重点、难点：
1.圆周角定理
2.圆心角定理及推论
3.圆内接四边形性质
4.四点共圆的判定
5.圆的切线的性质
6.圆的切线的判定
7.弦切角定理
8.相交弦定理
9.割线定理
10.切线长定理
11.切割线定理
12.平面截圆柱
13.平面截圆锥

【典型例题】
[例1]已知：如图AB是直径，C是AE的中点，CD⊥AB于D交AE于F，求证：CF=AF。

证明：连结AC，CB∵C是AE的中点
∴∠B=∠CAE∵AB是直径
∴∠ACB=90°∵CD⊥AB
∴∠ACD=∠B∴∠ACD=∠CAF∴CF=AF

[例2]已知：△ABC内接于⊙O，弦AB的垂直平分线和CA及BC的延长线分别交于点D及E，交⊙O于F两点，求证：ED·DO=AD·DC。

证明：延长AO交⊙O于M点，连结CM
∵AM是⊙O的直径
∴∠ACM=90°又EH⊥AB
∴∠EHB=90°∵∠AMC=∠ABC
∴∠CAM=∠E又∠ADO=∠CDE
∴△ADO∽△CDE
∴∴ED·DO=AD·DC

[例3]四边形ABCD内接于⊙O，对角线是直径，AC与BD相交于点E，BO⊥AD于H，AD=OA=2。求：
（1）∠ABD和∠BEC的度数；
（2）OE：EC；
（3）四边形ABCD的面积。

证明：（1）∵BO⊥AC∴AH=HD
∴AD=OA=2∴AH=1
∴∠OAH=60°∵AC是⊙O直径
∴∠ADC=90°
∴∠ACD=90°－∠OAH=90°－60°=30°
∵∠ABD=∠ACD∴∠ABD=30°
∵BH是AD的垂直平分线∴BA=BD
∴∠BDA=∠BAD=

在Rt△ADE中，AED=180°－（EAD+EDA）=
180°－（60°+75°）=45°
∴BEC=AED=45°
（2）在Rt△ADC中，
DC=
∵AD⊥DC，AH⊥BH∴BH//DC
∴
∴OE：EC=1：
（3）在中，AH=HDAO=OC

∴
作BF⊥DC交DC的延长线于F，则四边形DHBF是矩形
∴BF=HD=1
∴
∴

[例4]已知弦CD垂直于圆O的直径AB，L为垂足，弦AE平分半径OC于H，求证：弦DE平分弦BC于M。

证明：连结BD，由∴∠BAE=∠BDE
由直径AB⊥CD知BC=BD∠DBC=2∠CBA
又∠AOC=2∠ABC故∠AOH=∠DBM
∴△AOH∽△DBM
，而
∴即DE平分BC

[例5]如图，⊙O是直角三角形的直角边AB为直径的圆，ED与⊙O切于D，求证：。

证明：连结OD、BD∵EB、ED都是⊙O的切线
∴EB=ED又EO=EO
∠EBO=∠EDO=90°∴△EBO≌△EDO
∴∠1=∠2
∵∠A=∠DOB=∠1，AO=OB
∴EOCA∵OB=OD，∠1=∠2
∴BD⊥OE∴BD⊥CA又AB⊥BC
∴△ABC∽△BDC
∴即

[例6]如图所示，已知：P为正△ABC外接圆上一点，连结PB，PC和PA，D是PA和BC的交点。求证：。

证明：在△PBD和△CAD中，∵∠PBD=∠CAD
∠PDB=∠CDA
∴△PBD∽△CAD∴
同理可证
∴
∴AB=AC=BC，BC=BD+DC
∴
∴

[例7]如图，已知AB是⊙O的直径，AC是弦，直线CE和⊙O切于点C，AD⊥CE，垂足为D，求证：AC平分∠BAD。

证明：连结BC∵AB是⊙O的直径
∴∠ACB=90°∴∠B+∠CAB=90°
∵AD⊥CE∴∠ADC=90°
∴∠ACD+∠DAC=90°
∵AC是弦，且CE和⊙O切于点C
∴∠ACD=∠B∴∠DAC=∠CAB
∴AC平分∠BAD

[例8]已知：如图所示，在△ABC中，∠A=15°，∠ACB=90°，BC=1，O为AC上一点，以O为圆心，OC为半径的半圆交AB于E、F两点，且E为AB的中点，D为半圆与AC的另一交点。
（1）求CF的长；
（2）求BF的长；
（3）求证：AD是方程的一个根。

解：（1）连结CE∵E是的斜边AB的中点
∴CE=AE
∴∠ECA=∠A=15°∴∠FEC=30°
由题意可知，BC垂直于⊙O的半径OC
∴BC与⊙O相切于点C
∴∠BCF=∠FEC=30°∵∠B=90°－∠A=75°
∴∠BFC=180°－（∠B+∠BCF）=180°－（75°+30°）=75°
∴∠B=∠BFC∴CF=BC=1
（2）连结OE、OF∵OC=OF
∠COF=2∠FEC=60°
∴△COF是正△∴OC=OF=CF=1
∵∠ECF=90°－（∠BCF+∠ECA）=90°－（30°+15°）=45°
∴∠EOF=2∠ECF=2×45°=90°
∴△EOF是等腰直角三角形∴EF=
由切割线定理得
∴即
解得，（舍）