高三数学理导数（三）人教实验版（A）知识精讲.doc

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高三数学理导数（三）人教实验版（A）
【本讲教育信息】
一.教学内容：
导数（三）（理）

二.重点、难点：
1.基本积分表
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
（7）
（8）
2.运算公式
（1）
（2）
（3）
3.

【典型例题】
[例1]求下列定积分
（1）

（2）
∵
∴

[例2]，为何值时，M最小。
解：

∴时，

[例3]曲线C：，点，求过P的切线与C围成的图形的面积。
解：设切点，则
切线：过P（）
∴

∴A（0，1）
∵∴
∴B（）
∴

[例4]设是二次函数，方程有两个相等的实根，且。
（1）求的表达式；
（2）求的图象与两坐标轴所围成图形的面积；
（3）若直线（把）的图象与两坐标轴所围成图形的面积二等分，求的值。
.解：（1）设，则
又已知∴∴
又方程有两个相等实根∴判别式，即
故
（2）依题意，有所求面积
（3）依题意，有
∴
，
∴，于是

[例5]已知
（1）讨论函数的单调性；
（2）是否存在这样的a的值，使得恒成立，若不存在，请说明理由；若存在，求出所有这样的值。
（1）

（i）当
故当
（ii）当恒成立
故当上单调递减
（2）即使时恒成立.由（1）可知当
时不可能恒成立
，由（1）可知
即可

故存在这样的a的值，使得

[例6]已知函数在点处取得极小值－4，使其导数的的取值范围为，求：（1）的解析式；（2）若过点可作曲线的三条切线，求实数的取值范围。
（1）由题意得：
∴在上；在上；在上
在此在处取得极小值
∴①
②
③
由①②③联立得：∴
（2）设切点Q

过

令，
求得：，方程有三个根。
需：
故：
因此所求实数的求职范围为：

[例7]设函数的图象过点A（2，2），
（1）求的解析式；
（2）求的极大值与极小值；
（3）若对任意的，总存在相应的，使得成立，试求实数的取值范围。
解：（1）由已知得
（2）由（1）知

（3）由题意，即在区间①

则①式即为

[例8]设函数，其中。
（Ⅰ）求的单调区间；
（Ⅱ）当时，证明不等式：；
（Ⅲ）设的最小值为，证明不等式：
解：（Ⅰ）由已知得函数的定义域为，且，
，解得……2分
当变化时，的变化情况如下表：
-0+↘极小值↗由上表可知,当时，，函数在内单调递减
当时，，函数在内单调递增
所以,函数的单调减区间是,函数的单调增区间是
（Ⅱ）设。
对求导，得：。
当时，，所以在内是增函数。所以在上是增函数。
当时，，即
同理可证＜x。
（Ⅲ）由（Ⅰ）知，，
将代入，
得:
即:1＜(a+1)，
，即。

[例9]已知函数（a为实数）
（I）若在处有极值，求a的值；
（II）若在上是增函数，求a的取值范围。
解：（I）由已知得的定义域为
又
由题意得

（II）依题意得
对恒成立，

的最大值为
的最小值为
又因时符合题意
为所求

[例10]设函数
（I）求函数的极值点；
（II）当的取值范围；
（III）证明：
解：（I），

当是无极值点。
当的变化情况
如下表：
x+0—↑极大值↓从上表可以看出：当
（II）当，此极大值也是最大值，
要使，

（III）令由（II）知，，
，
，

∴结论成立。

[例11]上为增函数在[0，2]上减函数，又方程有三个根为。
（Ⅰ）求
（Ⅱ）比较；
（Ⅲ）求的范围。
解：（1）＝
为增函数，（0，2）为减函数

（2）

（3）

【模拟试题】
1.计算下列定积分：
（1）；（2）；
（3）；（4）。
2.计算下列定积分；
（1）；（2）；（3）。
3.计算曲线与直线所围图形的面积。
4.计算由曲线，直线以及两坐标轴所围成的面积S（如图所示）。
5.设是二次函数，方程有两个相等的实根，且。
（1）求的表达式；
（2）若直线把的图象与两坐标轴所围成图形的面积二等分，求t的值。
6.已知函数。
（1）求函数在区间上的最大值、最小值；
（2）求证：在区间上，函数的图像在函数的图像的下方；
（3）设，求证：。
7.设函数
（1）若，证明：函数有两个不同的极值点，并且；
（2）若，且当时，恒成立，求的取值范围。
8.已知函数是在上处可导的函数，若在上恒成立。
（1）求证：函数在上是增函数；
（2）当，时，证明：；
（3）已知不等式在且时恒成立，求证：
。
9.设函数
（1）求函数的单调区间，并求函数的极大值；
（2）当时，恒有成立，求的取值范围。

【试题答案】
1.解：（1）
（2）
（3）
（4）
2.解：（1）原式
（2）原式
（3）原式
3.解：由解得及
从而所求图形的面积

4.解：由得或
∵，其中

∴

5.解答：（1）设，则，由已知，所以，所以
又方程有两