热传导与热辐射大作业报告...doc

精品文档

热传导与热辐射大作业报告

精品文档

目录

TOC\o"1-1"\h\uHYPERLINK\l_Toc5749一、作业题目 PAGEREF_Toc5749-1-
HYPERLINK\l_Toc18253二、作业解答 PAGEREF_Toc18253-2-
HYPERLINK\l_Toc13344个人感想 PAGEREF_Toc13344-17-
HYPERLINK\l_Toc11721附件.计算中所用程序 PAGEREF_Toc11721-18-

一、作业题目
一矩形平板,，内有均匀恒定热源，在及处绝热，在及处保持温度，初始时刻温度为，如右图1所示：

1、求时，矩形区域内的温度分布的解析表达式；
2、若，，，，，热传导系数
，热扩散系数。请根据1中所求温度分布用MATLAB软件绘出下列结果，加以详细物理比较和分析：
300s内，在同一图中画出点、、、、（单位：m）温度随时间的变化；
200s内，画出点、、、、（单位：m）处，分别沿x、y方向热流密度值随时间的变化；
画出时刻区域内的等温线；
300s内，在同一图中画出点（单位：m）在分别等于，，情况下的温度变化；
300s内，比较点(9,6)（单位：m）在其它参数不变情况下热导率分别为、和的温度、热流密度变化；
300s内，比较点(9,6)（单位：m）在其它参数不变情况下热扩散系数分别为、和的温度、热流密度变化；
3、运用有限差分法计算2中(b)、(d)和(e)，并与解析解结果进行比较，且需将数值解与解析解的相对误差减小到1‰以下；
4、附上源程序和个人体会；
以报告形式整理上述结果，用A4纸打印上交。

二、作业解答
1、求时，矩形区域内的温度分布的解析表达式；
解答：我们令，则可以得到一个方程和边界条件：
（1-1）

将上式分解为一个的稳态问题：
（1-2）

和一个的其次问题：
（1-3）

其中
则原问题的解根据下式求得：
（1-4）
发热强度为常数的特解可从表2-4中查的，则新变量可定义为：
（1-5）
将（1-5）带入（1-2）整理得到：
（1-6）

若令常数，则上式可以变为：
（1-7）

其中
假定可以分离出如下形式：
（1-8）
对应于的分离方程为：
（1-9）

（1-10）

在中特征值问题的解可以直接从表2-2第6条中得到，只需要用a代替L，
（1-11）
（1-12）
是下面方程的正根：
（1-13）
方程（1-10）的解可以取为
（1-14）
的完全解由下式组成：
（1-15）

此式满足热传导问题（1-7）及三个齐次边界条件，其中，系数可以根据方程的解还应满足非齐次的边界条件来决定。利用的边界条件可得：
（1-16）
利用函数的正交性可以求得系数，
（1-17）
式中：

将这个表达式带入式（1-15），其中范数在前面已经给出，解得结果为
（1-18）
则：

（1-19）
假定分离成如下表达式
（1-20）
对应于函数和的分离方程为
：（1-21）

：（1-22）

的解为：
（1-23）
上述问题的完全解为：
（1-24）
其中0<x<a,0<y<b。
当t=0时，上式变为：
（1-25）
其中0<x<a,0<y<b。
确定未知系数的方法是，在上式两边逐项用如下算子作运算：
及
并利用这些函数的正交性，得到：
（1-26）
最终得到问题的解为：

（1-27）
式中出现的特征函数，特征值及范数可以从表2-2中直接查得：
（1-28）
（1-29）
且为如下方程的正根：
（1-30）
满足特征值问题的函数对应于表2-2中的第6条，得到：
（1-31）
（1-32）
且是如下方程的正根：

最后得到：

（1-33）
令

其中令
令

根据余弦函数的正交性，只有当m=n时积分才不为0，故上式可以化为：

再令

所以
令
所以
由（1-4）、（1-19）及（1-33）可知

。
以上是解析解的全过程，具体值的计算采用MATLAB编程计算求取。
2、若，，，，，热传导系数，热扩散系数。请根据1中所求温度分布用MATLAB软件绘出下列结果，加以详细物理比较和分析：
300s内，在同一图中画出点、、、、（单位：m）温度随时间的变化；

图1.不同点温度随时间变化曲线图

分析：开始时刻通过右、上边界向内部导热，这时候尽管有内热源，但谁相对离右、上边界越近，温度曲线越陡。即开始时刻（0,8）点比（0,4）点温度曲线陡，（12,0）点比（6,0）点温度曲线陡，一定时间后由于有内热源，内部温度逐渐高于边界温度，这时内部开始向边界导热。这时谁离两个绝热边交点越近，谁的温度会越高，这就是为什么