高三数学导数及其应用知识精讲 苏教版.doc

用心爱心专心

高三数学导数及其应用知识精讲苏教版
一.本周教学内容：
导数及其应用

二.教学目的：
（1）了解平均变化率的概念和瞬时变化率的意义；了解导数概念的实际背景，体会导数的思想及其内涵。通过函数图象直观地理解导数的几何意义。
（2）理解导数的定义，能根据导数的定义，求函数y=c，y=x，y=x2，y=的导数。了解基本初等函数的导数公式；了解导数的四则运算法则；能利用导数公式表的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数。
（3）了解函数的单调性与导数的关系；能利用导数研究函数的单调性；会求不超过三次的多项式函数的单调区间。
了解函数的极大（小）值、最大（小）值与导数的关系；会求不超过三次的多项式函数的极大（小）值，以及在指定区间上不超过三次的多项式函数的最大（小）值。
（4）能用导数方法求解有关利润最大、用料最省、效率最高等最优化问题；感受导数在解决实际问题中的作用。

三.重点、难点：
教学重点：导数的几何意义及其运算。
教学难点：导数在实际问题中的应用。

四.知识点归纳：
1、函数在区间上的平均变化率为
2、函数在区间内有定义，，若无限趋近于0，比值无限趋近于一个常数A，则称在处可导，并称常数A为函数在处的导数。记作
3、导数的几何意义
函数在点处的导数，就是曲线在点处的切线的斜率。
由此，可以利用导数求曲线的切线方程．具体求法分两步：
（1）求出函数在点处的导数，即曲线在点处的切线的斜率；
（2）由切点坐标和切线斜率，得切线方程为：。
特别地，如果曲线在点处的切线平行于y轴，这时导数不存在，根据切线定义，可得切线方程为：
4、的导函数：
函数对于区间内任一点都可导，若无限趋近于0，比值无限趋近于，称它为的导函数，记为。
函数在点处的导数，就是导函数在处的函数值。
5、常见函数的导函数
（1）（a为常数）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
（7）
6、函数的和、差、积、商的导数

7、简单复合函数的导数：
的导函数：若，则

8、导数的应用
（1）导数和函数的单调性：
对于函数，在某区间上，那么为该区间上的增函数
对于函数，在某区间上，那么为该区间上的减函数
（2）导数和函数的极值点：
在的点处的两侧的导数值异号，则在处的函数值为极值。
在的点处的两侧的导数值左正右负，则在处的函数值为极大值。
在的点处的两侧的导数值左负右正，则在处的函数值为极小值。
（3）导数和函数的最值点：
求在区间上的最大值、最小值可以分为两步：
第一步求在区间上的极值；
第二步将第一步中求得的极值与比较，得到在区间上的最大值与最小值。

【典型例题】
例1、已知，求在[1，3]上的平均变化率
解：4

例2、已知一汽车在公路上做匀加速直线运动，秒时的速度为求时汽车的瞬时加速度。
解：a=6

例3、函数在到x0+△x之间的平均变化率为，在x0－△x到之间的平均变化率为（△x>0），则（）
A、B、C、D、
易错点：错选C，误认为是切线的斜线
正确答案是A
因为K1＝2x0+△x，K2＝2x0－△x

例4、设点P是曲线上的任一点，P点处的切线倾斜角为，则的取值范围是（）
A、 B、
C、 D、
易错点：选D
正确：y’=x2－1≥－1。

例5、（1）曲线在点（1，－1）处的切线方程为。
（2）求过点P且与曲线相切的切线方程。
解：（1）3x+y－2=0
（2）易错点：设切点为（x0，y0），则
得x0=2或x0=－1
所求的切线方程是12x－3y－16=0或3x－3y+2=0
正确解法：
当x0≠2时解法同上，
当x0＝2时，切线方程为：y－=4（x－2）
综上所求得直线方程12x－3y－16=0或3x－3y+2=0。
分析：虽然答案相同，但是考虑的严密性不同，只能说答案相同是巧合而已。

例6、（1）函数在处的导数值为
（2）求函数的导数
（3）已知函数。求.
解：（1）
（2）
（3）

例7、求的增区间是。

例8、已知在处有极值0，求常数
错解：y′=3x2+6ax+b

正确解法：下面检验x=－1是否为极值点。
当a=1，b=3，函数f′（x）=3x2+6x+3=3（x+1）2≥0，因为在x=－1两侧的导数同号，所以x=－1不是极值点。
当a=2，b=9，函数f′（x）=3x2+12x+9=3（x2+4x＋3），因为在x=－1两侧的导数异号，所以x=－1是极值点。
所以a=2，b=9.

例9、（江苏9）已知二次函数的导数为，，对于任意实数都有，则的最小值为（C）
A、B、C、D、

例10、请您设计一个帐篷。它下部的形状是高为1m的正六棱柱，上部的形状是侧棱长为3m的正六棱锥（如右图所示）。试问当帐篷的顶点O到底面中心O1的距离为多少时，帐篷的体积最大？

解：设OO1为xm，
则由题设可得正