高三数学一轮总复习 第十章 计数原理、概率、随机变量及其分布列 10.7 离散型随机变量及其分布列开卷速查-人教版高三全册数学试题.doc

开卷速查(六十七)离散型随机变量及其分布列
A级基础巩固练
1．某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况，随机抽取该流水线上40件产品作为样本称出它们的质量(单位：克)，质量的分组区间为(490,495]，(495,500]，…，(510,515]。由此得到样本的频率分布直方图，如图所示。

(1)根据频率分布直方图，求质量超过505克的产品数量；
(2)在上述抽取的40件产品中任取2件，设Y为质量超过505克的产品数量，求Y的分布列。
解析：(1)根据频率分布直方图可知，质量超过505克的产品数量为40×(0.05×5＋0.01×5)＝40×0.3＝12。
(2)Y的可能取值为0,1,2，且Y服从参数为N＝40，M＝12，n＝2的超几何分布，故
P(Y＝0)＝eq\f(C\o\al(0,12)C\o\al(2,28),C\o\al(2,40))＝eq\f(63,130)，
P(Y＝1)＝eq\f(C\o\al(1,12)C\o\al(1,28),C\o\al(2,40))＝eq\f(28,65)，
P(Y＝2)＝eq\f(C\o\al(2,12)C\o\al(0,28),C\o\al(2,40))＝eq\f(11,130)。
所以Y的分布列为

Y012Peq\f(63,130)eq\f(28,65)eq\f(11,130)2.[2016·张掖一诊]近年来空气污染是一个生活中重要的话题，PM2.5就是其中一个指标，PM2.5指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物。PM2.5日均值在35微克/立方米以下空气质量为一级；在35微克/立方米～75微克/立方米之间空气质量为二级；在75微克/立方米以上空气质量为超标。张掖市2015年10月1日至10日每天的PM2.5监测数据如茎叶图所示。

(1)在此期间的某天，一外地游客来张掖市旅游，求当天PM2.5日均监测数据未超标的概率；
(2)某游客在此期间有2天在张掖市旅游，这2天张掖市的PM2.5监测数据均未超标，请计算出这2天空气质量恰好有一天为一级的概率；
(3)在所给10天的数据中任意抽取3天数据，记ξ表示抽到PM2.5监测数据超标的天数，求ξ的分布列及期望。
解析：(1)记“当天PM2.5日均监测数据未超标”为事件A，则P(A)＝eq\f(2＋4,10)＝eq\f(3,5)。
(2)记“这2天此地PM2.5监测数据均未超标且空气质量恰好有一天为一级”为事件B，则P(B)＝eq\f(C\o\al(1,2)·C\o\al(1,4),C\o\al(2,6))＝eq\f(8,15)。
(3)ξ的可能值为0,1,2,3，
P(ξ＝0)＝eq\f(C\o\al(3,6),C\o\al(3,10))＝eq\f(1,6)，
P(ξ＝1)＝eq\f(C\o\al(2,6)·C\o\al(1,4),C\o\al(3,10))＝eq\f(1,2)，
P(ξ＝2)＝eq\f(C\o\al(1,6)·C\o\al(2,4),C\o\al(3,10))＝eq\f(3,10)，
P(ξ＝3)＝eq\f(C\o\al(3,4),C\o\al(3,10))＝eq\f(1,30)。
其分布列为：
ξ0123Peq\f(1,6)eq\f(1,2)eq\f(3,10)eq\f(1,30)E(ξ)＝0×eq\f(1,6)＋1×eq\f(1,2)＋2×eq\f(3,10)＋3×eq\f(1,30)＝eq\f(6,5)。
B级能力提升练
3．一次考试共有12道选择题，每道选择题都有4个选项，其中有且只有一个是正确的。评分标准规定：“每题只选1个选项，答对得5分，不答或答错得0分”。某考生已确定有8道题的答案是正确的，其余题中：有2道题都可判断2个选项是错误的，有1道题可以判断1个选项是错误的，还有1道题因不理解题意只好乱猜。请求出该考生：
(1)得60分的概率；
(2)所得分数X的分布列。
解析：(1)设“选对可判断2个选项是错误的2道题之一”为事件A，“选对可判断1个选项是错误的1道题”为事件B，“选对不理解题意的1道题”为事件C。
则P(A)＝eq\f(1,2)，P(B)＝eq\f(1,3)，P(C)＝eq\f(1,4)，
所以得60分的概率P＝eq\f(1,2)×eq\f(1,2)×eq\f(1,3)×eq\f(1,4)＝eq\f(1,48)。
(2)依题意得，所得分数X可能的取值为40,45,50,55,60。
P(X＝40)＝eq\f(1,2)×eq\f(