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数学收敛思维与发散思维的协同

论

文

“数学收敛思维与发散思维的协同”

铅山三中

詹锋

数学收敛思维与发散思维的协同

收敛思维也叫“集合思维”、“求同思维”，是指在解决问题的过程中，尽可

能利用已有的知识和经验，把众多的信息和解题的可能性逐步引导到条理化的逻辑

序列中去，最终得出一个合乎逻辑规范的结论。收敛思维也是创新思维的一种形

式，与发散思维不同，发散思维是为了解决某个问题，从这一问题出发，想的办

法、途径越多越好，总是追求还有没有更多的办法。而收敛思维也是为了解决某一

问题，在众多的现象、线索、信息中，向着问题一个方向思考，根据已有的经验、

知识或发散思维中针对问题的最好办法去得出最好的结论和最好的解决办法。

收敛思维训练是重要的，每个学生都应受到良好的收敛思维训练。在学生进入

小学、中学后，实际进行收敛思维训练的时间也特别多，这对于儿童思维的健康化

是完全必要的。这种训练常常是与逻辑分不开的，在我国很少有中小学开设逻辑学

课程，他们的主要逻辑训练来自各个学科，与各学科结合，尤其与数学结合。数学

训练是思维的“体操”。数学各科都有逻辑训练，其中又以几何学科最具典型性，

它的基本任务是训练学生的演绎推理(这是一种论证推理)。逻辑训练又是典型的收

敛性思维训练。

学习逻辑方法，掌握逻辑规则(不一定要有很专门的逻辑知识)，不仅对于数学

学习是重要的，对于一般人，对于其它知识的学习，对于学习与理解，对于交流与
表达，都是重要的。逻辑上的混乱会使上述这一切受阻。基本的形式逻辑规则尚不

懂得应当遵守，去谈什么辨证思维，只会误入歧途。“在一定条件下，坏事可以变

成好事”，这是一种辨证思维。丢掉“在一定条件下”去讲“坏事可以变成好

事”，这就有点问题了。干脆就说“坏事就是好事”，这是瞎说，连基本的形式逻

辑都违反了，这与辨证逻辑毫不相干。“在一定条件下，几何问题可以变成代数问

题”，这个“在一定条件下”也不能丢，更不能在强调两者的某种统一的事物需要

弄明白，这种对立统一关系，必须建立在对有关概念与命题准确了解的基础上，建

立在相当的收敛思维训练基础上。比如说，加法与减法在某种条件下统一于代数

和，乘法与除法在某种条件下都归结为乘法，以及直线与曲线的某种联系，连续与

离散的某种联系，等等。

逻辑是青少年思维发展中的保健品，逻辑的普遍适用性正是进行迁移所需的，

是发散过程中所需的。因为发散思维的“果实”还不是成熟的，需要收敛思维去加

工。青少年时期是相对易于发散的年龄，也正需要他们同时懂得发散的东西随时要

伴之以收敛。这样，不仅“果实”会成熟，思维发展也会渐渐成熟起来。

在基础教育阶段，收敛思维训练，一则是大量的，二则是严格的，三则是权威

的。大量的时间用于收敛思维训练是正常的。儿童思维的“天性”是发散的，收敛

是需要后天训练的(当然，这不是说思维发散不需要给以注意，不需要发展，不需

要训练，不是这样的)。

学生在学习期间要吸收的数学知识主要是围绕教科书内容的。我们又要提到几

何，一本《几何》教本，基本概念和基本命题寥寥数个，其余的大量命题(或以

“性质”，或以“定理”，或以“习题”的形式出现)都属于演绎工作，就思维训

练来说，明显地属于收敛性质。

收敛思维训练是严格的。我国广大数学教师一般都十分重视学生的这种训练，

就推理而言。一般教师都十分忌讳“循环论证”、命题混淆、理由不充足等逻辑错
误。因此注意力较多集中在严谨性上，集中在正确论证上。数学教科书的编写与审

定要求也十分严格。

教师、教材要求的严格，逻辑上的严谨，结论似显出来的无可争议性，常常在

学生心目中形成一种权威。这种权威有利于学生的收敛性思维训练。

然而，同时必须明确的是，收敛思维训练与发散思维训练应协同进行。一定的

权威是有利的，权威主义是有害的，后者尤应注意。

每个人的思维事实上都是既有收敛，又有发散的。幼儿时期或许是个例外。一

般青少年，乃至成人，差别在于两种思维分别受到的训练如何，两者是否协调。收

敛思维的强训练在学校，然而，更好的学校(或教师)是在进行这种强训练的同时保

护和发展学生的发散思维。收敛思维的训练，在学前也可能有，只是比较微弱。良

好的家庭环境，父母较好的文化素养，再加之以较好条件的幼儿教育，儿童的收敛

思维就可能有一定的发展，但这时的收敛是比较有限的。

在日常生活中，一般人的思维较多地处在发散状态，且有意的加以利用的情形

不多。在接受课堂教育时，较多地处于收敛状态，而对发散性思维一般注意得较

少，尤其是数学课。在强调全面发展，全面学好各科课程，并注意学习内容综合性

质的学校里，学生收敛思维和发散思维协同训练的情况会好些。例如，人文课